Nierówności typu Bonferoniego

[gardner]

Niech \(\displaystyle{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \in F}\)
Wykaż,że:

\(\displaystyle{ P( \bigcup_{i=1}^{n} A_{i}) \ge \sum_{1 \le i_{1} \le n}^{}P(A_{i1}) - \sum_{1 \le i_{i} \le i_{2}\le n}^{} P(A_{i1} \cap A_{i2})}\)

[Premislav]

Dowód można przeprowadzić z użyciem indukcji po \(\displaystyle{ n}\) lub skorzystać ze wzoru włączeń i wyłączeń.
Albo też tak: niech
\(\displaystyle{ B_{1}=A_{1}, B_{k}=A_{k}\setminus \bigcup_{1 \le m<k}^{}A_{m}}\)
dla \(\displaystyle{ k \ge 2}\)... Skorzystaj z addytywności miary probabilistycznej (jeśli nie widzisz, czemu możesz i co to Ci da, to najpierw sobie wykaż, że \(\displaystyle{ B_{i}}\) są parami rozłączne i sumują się do \(\displaystyle{ \bigcup_{j=1}^{n}A_{j}}\)) i trochę się pobaw. Wsk. \(\displaystyle{ P(A \setminus B)=P[A \setminus (A\cap B)]}\), no i \(\displaystyle{ P(B \setminus A)=P(B)-P(A)}\) dla \(\displaystyle{ A \subset B}\)

[gardner]

Hmm a indukcyjnie na pewno to wychodzi?

Ja zacząłem tak:

\(\displaystyle{ L=P(A_{11})}\)
\(\displaystyle{ P=P(A_{11})- P(A_{11} \cap A_{12})}\) ok

\(\displaystyle{ P( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \cup A_{i+1} ) \ge P( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} ) + P(A_{i+1})
-P( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \cap A_{i+1} ) \ge \sum_{1 \le i1 \le n}^{}P(A_{i})- \sum_{1 \le i1 \le i2 \le n}^{}P(A_{i1} \cap A_{i2})+ P(A_{i+1})-P( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \cap A_{i+1}) \ge \sum_{1 \le i1 \le n+1}^{} P(A_{i1})- \sum_{1 \le i1 \le i2 \le n}^{}P(A_{i1} \cap A_{i2}) -
P( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i1} \cap A_{i+1} )}\)

Co zrobić z tym prawdopodobieństwem iloczynu na końcu?

[Premislav]

Już pierwszy krok masz nieprawidłowo. Gdy \(\displaystyle{ n=1}\), to masz tylko jeden zbiór, a gdy \(\displaystyle{ n=2}\), to inaczej to wygląda. Czy na pewno idzie przez indukcję? Dobre pytanie...

Rozpatrzmy to przeklęte \(\displaystyle{ P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \cap A_{n+1}\right)}\)
(poprawiłem błąd w indeksie, zapewne popełniony przez nieuwagę).
Z nierówności Boole'a mamy \(\displaystyle{ P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \cap A_{i+1}\right) \le \sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\cap A_{n+1})}\) a zatem \(\displaystyle{ -P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \cap A_{n+1}\right) \ge -\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\cap A_{n+1})}\)
Widzisz, jak tego użyć? Miałeś bądź umiesz wykazać nierówność Boole'a?

[gardner]

Nierówności Bool'a nie miałem ale widzę,że należy podstawić,zmienić indeksowanie i powinno się zgadzać,tak?

[Premislav]

Owszem. A nierówność Boole'a możesz bardzo łatwo udowodnić, urozłączniając (nie ma takiego słowa? Jak dla mnie jest śliczne i przydatne) tak, jak to pokazałem w pierwszym poście. Zauważ, że wtedy \(\displaystyle{ B_{k} \subset A_{k}}\), a więc \(\displaystyle{ P(B_{k}) \le P(A_{k})}\)