Prawdopodobieństwo warunkowe

[anna_]

Wykaż, że jeśli
\(\displaystyle{ A, \ B}\) są zdarzeniami elementarnymi zawartymi w przestrzeni zdarzeń \(\displaystyle{ \Omega}\), to:

\(\displaystyle{ P(A|B)\ge P(A)-P(B)}\)

[kropka+]

Edit. Pomyłkowo dowód dotyczył prawdopodobieństwa różnicy zdarzeń.

[szachimat]

Będę używał minusa dla zbiorów jako "-".

Dla dowolnych \(\displaystyle{ A,B \subset \Omega}\) mamy:
\(\displaystyle{ (A-B) \cap (A \cap B)=\emptyset}\)
\(\displaystyle{ A=(A-B) \cup (A \cap B)}\)

A zatem: \(\displaystyle{ P(A)=P(A-B)+P(A \cap B)}\)
Stąd: \(\displaystyle{ P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)}\)

Ponieważ: \(\displaystyle{ P(B) \ge P(A \cap B)}\), więc \(\displaystyle{ -P(A \cap B) \ge -P(B)}\)

Stąd mamy dalej:
\(\displaystyle{ P(A-B)=P(A)-P(A \cap B) \ge P(A)-P(B)}\)

Szach i Mat

[miodzio1988]

Będę używał minusa dla zbiorów jako "-".

Dla dowolnych \(\displaystyle{ A,B \subset \Omega}\) mamy:
\(\displaystyle{ (A-B) \cap (A \cap B)=\emptyset}\)
\(\displaystyle{ A=(A-B) \cup (A \cap B)}\)

A zatem: \(\displaystyle{ P(A)=P(A-B)+P(A \cap B)}\)
Stąd: \(\displaystyle{ P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)}\)

Ponieważ: \(\displaystyle{ P(B) \ge P(A \cap B)}\), więc \(\displaystyle{ -P(A \cap B) \ge -P(B)}\)

Stąd mamy dalej:
\(\displaystyle{ P(A-B)=P(A)-P(A \cap B) \ge P(A)-P(B)}\)

Szach i Mat

Gdzie w tym wywodzie jest prawdopodobieństwo warunkowe?

[szachimat]

Ja ten znaczek odczytałem jako minus (teraz dopiero widzę, że przykład znalazł się w temacie "Prawdopodobieństwo warunkowe"). A zatem pytanie do autora: czy ten znaczek na pewno ma być warunkowym. Bo jeżeli tak, to nie to wykazałem.
miodzio1988 - dziękuję, za wychwycenie nieścisłości

[anna_]

\(\displaystyle{ |}\), a nie \(\displaystyle{ \setminus}\).
W tytule tematu napisałam, że chodzi o warunkowe.

[Adifek]

Jeśli są zdarzeniami elementarnymi, to są elementami \(\displaystyle{ \Omega}\), a nie są w niej zawarte Ponadto w tym kontekście prawdopodobieństwo warunkowe jest albo zerem albo jedynką, bo dwa różne zdarzenia elementarne są rozłączne.

[chlorofil]

Wykaż, że jeśli
\(\displaystyle{ A, \ B}\) są zdarzeniami elementarnymi zawartymi w przestrzeni zdarzeń \(\displaystyle{ \Omega}\), to:

\(\displaystyle{ P(A|B)\ge P(A)-P(B)}\)

Ale to nie będzie prawda!

Dla przykładu rozpatrzmy zdarzenie polegające na 1-krotnym rzucie kostką. Oczywiście:

\(\displaystyle{ \left\vert{\Omega}\right\vert=6}\)

Rozpatrzmy zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) polegające na wyrzuceniu liczby 1, 2 lub 3. Oczywiście: \(\displaystyle{ \left\vert{A}\right\vert=3}\).
Dalej rozpatrzmy zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) polegające na wyrzuceniu liczby 4 lub 5. Oczywiście: \(\displaystyle{ \left\vert{B}\right\vert=2}\).
Jasne jest, że \(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset}\). Mamy więc: \(\displaystyle{ P(A \cap B) = 0}\), a więc: \(\displaystyle{ P(A | B) = 0}\). Ale: \(\displaystyle{ P(A)-P(B)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}}\), skąd otrzymujemy: \(\displaystyle{ P(A|B)<P(A)-P(B)}\).