Proste prawdopodobieństwo utracenia pakietów

[MrOmega]

Cześć

Mam problem, który pewnie Wam wyda się banalny, ale jakoś nie mogę sobie z nim poradzić

Chcę policzyć o ile wzrośnie prawdopodobieństwo, że dane nie zostaną utracone przy przesyłaniu przez internet. Powiedzmy, mamy \(\displaystyle{ 8}\) pakietów. Prawdopodobieństwo, że którykolwiek z nich zostanie utracony wynosi \(\displaystyle{ p}\). Czyli wiadomo, prawdopodobieństwo, że wszystkie zostaną dostarczone wynosi \(\displaystyle{ (1-p)^{8}}\).

Teraz zastosuję pewną sztuczkę: mając pakiety A i B stworzę pakiet C, który pozwoli mi odtworzyć A lub B, kiedy jeden z nich zostanie utracony. Ten pakiet C jest dodatkowy. Przykład:

Kod: Zaznacz cały

A: 10101
B: 00110
C: 10011 (XOR)

Mam tyle łącza, że wystarczy mi na wysłanie dodatkowych pakietów C dla połowy moich par. Czyli mając \(\displaystyle{ 8}\) pakietów mam \(\displaystyle{ 4}\) pary, więc dla \(\displaystyle{ 2}\) z nich mogę wysłać po dodatkowym pakiecie. Mam teraz \(\displaystyle{ 10}\) pakietów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dane zostaną dostarczone prawidłowo?

====

Dodatkowe wyjaśnienie na przykładzie. Mamy pakiety \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7,8}\). Dla pakietów \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\) tworzymy pakiet A, który może posłużyć do odtworzenia jednego z pakietów w parze, gdy mamy drugi. Dla pakietów \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\) zrobimy to samo. Dla pakietów \(\displaystyle{ 5,6,7,8}\) już nie damy rady więcej przesłać, więc one są bardziej narażone na niebezpieczeństwo.

Więc wysyłamy pakiety 1,2,3,4,5,6,7,8,A,B.

[Medea 2]

Dwie pary wysyłasz "po staremu", więc p-stwo pomyślnego dostarczenia wynosi \(\displaystyle{ q^4}\). Rozpatrzmy teraz pierwszą trójkę, czyli parę + pakiet zapasowy. Żeby przesłanie się udało, możemy albo wysłać trzy dobrze (p-stwo \(\displaystyle{ q^3}\)) lub przesłać tylko dwa (wybieramy, którego się nie uda przesłać i mnożymy przez p-stwo dla pozostałych: \(\displaystyle{ C^3_1 \cdot q^2p}\)). Podobnie drugi.

Odpowiedź brzmi więc (chyba ) \(\displaystyle{ q^4 \cdot (q^3 + 3q^2p)^2}\).

Uwaga: \(\displaystyle{ q = 1-p}\).

[SlotaWoj]

Ogłosiłem się tu: https://www.matematyka.pl/384242.htm#p5325564
w „konkurencyjnym” MrOmegi na ten sam temat.