Kiedy wypadnie szóstka?

[musialmi]

Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie po raz pierwszy w \(\displaystyle{ n}\)-tym rzucie? Jakie jest, że szóstka nigdy nie wypadnie? Jakie jest, że szóstka pojawi się w \(\displaystyle{ n}\)-tym rzucie po raz drugi?

Wszystkich możliwości wyników \(\displaystyle{ n}\) rzutów jest \(\displaystyle{ 6^n}\).

a) W pozostałych \(\displaystyle{ n-1}\) rzutach wypadają oczka tylko z przedziału 1-5, więc możliwości jest \(\displaystyle{ 5^{n-1}}\), a w ostatnim rzucie wypada szóstka (na jeden sposób). Więc możliwości jest \(\displaystyle{ 5^{n-1} \cdot 1}\).

b) W każdym z \(\displaystyle{ n}\) rzutów wypadają oczka z przedziału 1-5, a takich możliwości jest \(\displaystyle{ 5^n}\). No i tu prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{5^n}{6^n}}\), czy \(\displaystyle{ \lim \frac{5^n}{6^n}}\)?

c) Wybieramy rzut, w którym szóstka pojawi się po raz pierwszy, a ich jest \(\displaystyle{ n-1}\), następnie rzut, w którym szóstka pojawi się po raz drugi, a ich jest \(\displaystyle{ 1}\). Na koniec uwzględnijmy możliwe wyniki pozostałych rzutów, a tych wyników jest \(\displaystyle{ 5^{n-2}}\). Możliwości wypadnięcia szóstki w \(\displaystyle{ n}\)-tym rzucie po raz drugi jest \(\displaystyle{ (n-1) \cdot 1 \cdot 5^{n-2}}\).

Nie wiem czy w ogóle dobrze podszedłem do tego zadania. Na początku wyglądało mi to na mus korzystania z prawdopodobieństwa geometrycznego (zwłaszcza w b), gdzie nie jest napisane ile rzutów wykonujemy). Jak uważacie?

[Medea 2]

P-stwo geometryczne? Ja go nie widzę.

a) Okej, ale ja nie byłabym taka pedantyczna i napisała \(\displaystyle{ 5^n}\) (bez tej jedynki).

b) Trzeba napisać \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(\frac 5 6\right)^n = 0}\). Jeżeli nie wierzysz / nie jesteś pewien, przejdź na zdarzenie przeciwne: szóstka wypada w \(\displaystyle{ k}\)-tym rzucie. Wtedy:

\(\displaystyle{ P = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac 5 6\right)^{k-1} \cdot \frac 1 6 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1-5/6} = \frac 1 6 \cdot 6 = 1}\)

c) Również ok.

[szachimat]

Wszystko OK, tylko dwie sugestie:
1) Dlaczego wprowadzacie limesy? Przecież w zadaniach tego typu "n" jest konkretną wielkością i nieraz bywają dalsze poleceni, np: "Podaj wynik dla n=10" (jeżeli limesy w b, to dlaczego nie w a i c?)
2) Proponuję w zadaniach tego typu podeprzeć się Schematem Bernoulliego, że w "n-1" rzutach szóstka wypadła jeden raz i w "n"-tym rzucie wypadła szóstka (bo mogłaby być bardziej skomplikowana treść typu w 20-tym rzucie pojawiła się 5-ty raz szóstka)

[musialmi]

1) Dlaczego wprowadzacie limesy?

Dlatego, że uważamy, że "nigdy nie wypadnie" znaczy "po nieskończonej ilości prób nie wypadnie", a nie "nie wypadnie ani razu po \(\displaystyle{ n}\) rzutach"