Jazda windą

[musialmi]

W windzie jadącej z parteru na 10. piętro jest 5 osób, które losowo wysiadają na kolejnych piętrach. Jaka jest szansa, że co najmniej dwie osoby wysiądą na jednym piętrze? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy wysiądą razem?

a) Wybieramy piętro na 10 sposobów, a na tym piętrze wysiądą 2, 3, 4 lub 5 osób, które też musimy wybrać na odpowiednio: \(\displaystyle{ {5 \choose 2},{5 \choose 3},{5 \choose 4},{5 \choose 5}}\) sposobów.
Wszystkich możliwości wysiadek jest \(\displaystyle{ 10^5}\), bo każda z 5 osób ma 10 możliwości wysiadki. Szukane prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{\displaystyle 10\left( {5 \choose 2}+{5 \choose 3}+{5 \choose 4}+{5 \choose 5}\right) }{10^5}}\).

b) Musimy wybrać tylko piętro, na którym wysiądą wszyscy, a ich jest 10. Prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{10}{10^5}}\).

Tak?

[szachimat]

Ad a)
Dużo, dużo za mało. Wybierając np. dwie osoby na jedno piętro pomijasz wszelkie możliwe warianty wysiadania innych osób. Podobnie jak w kartach wybierając dwie na 5 piszemy jeszcze coś o trzeciej, czwartej, piątej.
Licząc wprost zamęczysz się. Oblicz przeciwne.

[musialmi]

Okej, spróbujmy. Dopełnieniem zdarzenia A jest chyba zdarzenie "na każdym z pięter wysiądzie maksymalnie jedna osoba". Czyli każdemu piętru przyporządkowujemy jedną lub 0 osób. No to najpierw wybierzmy piętra na których nikt nie wysiądzie: możliwości jest \(\displaystyle{ 5}\). Na reszcie pięter ktoś wysiądzie. Dla każdego z tych pięter wybieramy jedną osobę. Możliwości jest \(\displaystyle{ 5!}\). Więc \(\displaystyle{ P(A^c)=\frac{5 \cdot 5!}{10^5}}\), natomiast \(\displaystyle{ P(A)=1-P(A^c)}\).

A b) jest dobrze?

[szachimat]

W a) namieszałeś
Dobrze określiłeś omegę. Gdybyśmy to omówili słownie, to każdej z 5 osób przyporządkowałeś jedno z 10 pięter, stąd otrzymałeś ciągi 5-elementowe z 10, w których elementy mogą się powtarzać:
\(\displaystyle{ {10 \choose 1} \cdot {10 \choose 1} \cdot {10 \choose 1} \cdot {10 \choose 1} \cdot {10\choose 1} = 10^{5}}\)
Chcąc wyliczyć zdarzenie przeciwne powiemy, że wszystkie osoby wysiadły na różnych piętrach, czyli interesują nas ciągi 5-elementowe, w których elementy się nie powtarzają, czyli:
\(\displaystyle{ {10 \choose 1} \cdot {9 \choose 1} \cdot}\).....
b) jest dobrze

[musialmi]

Orany, no tak, zdecydowanie! Dziękuję

[waliant]

co do a) moje rozumowanie jest takie:
pierwsza osoba może wysiąść na dowolnym piętrze, druga tylko na jednym (tym samym), każda kolejna na dowolnym piętrze. Zatem z reguły mnożenia będzie \(\displaystyle{ 10 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{10^4}{10^5}}\). Znów nie wiem gdzie robię błąd?

Bo przez zdarzenie przeciwne, czyli "każdy wysiada na innym piętrze" wychodzi

\(\displaystyle{ P(A)= 1-\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{10^5}}\)

[szachimat]

waliant, chyba problem jest podobny do tego co wcześniej:https://www.matematyka.pl/384210.htm