Zbieżność stochastyczna i prawie na pewno
-
shabish
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 25 lut 2015, o 23:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
Zbieżność stochastyczna i prawie na pewno
Czy w teorii prawdopodobieństwa istnieje ciąg, który jest zbieżny stochastycznie a nie jest zbieżny prawie na pewno? Wiem, że w teorii miary istnieją takie ciągi. Jeżeli istnieje proszę o przykład
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Zbieżność stochastyczna i prawie na pewno
Istnieje.
Weźmy \(\displaystyle{ \Omega=(0,1]}\) ze zbiorami Borelowskimi i miarą Lebesgue'a jako \(\displaystyle{ P}\). Dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ k=1,\dots , n}\) zdefiniujmy
\(\displaystyle{ X_{n,k}(\omega) = \begin{cases} 1, \quad \omega \in \left( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right] \\ 0, \quad poza\ tym \end{cases}}\)
Łatwo widać, że ciąg \(\displaystyle{ X_{1,1}, X_{2,1}, X_{2,2}, X_{3,1},X_{3,2}, X_{3,3}, X_{4,1},...}\) zbiega wg prawdopodobieństwa do zera (bo \(\displaystyle{ P(X_{n, \cdot }>0 ) = \frac{1}{n}}\) ), ale nie jest zbieżny punktowo w żadnym puncie (bo co jakiś czas wyskoczy jedynka).
Weźmy \(\displaystyle{ \Omega=(0,1]}\) ze zbiorami Borelowskimi i miarą Lebesgue'a jako \(\displaystyle{ P}\). Dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ k=1,\dots , n}\) zdefiniujmy
\(\displaystyle{ X_{n,k}(\omega) = \begin{cases} 1, \quad \omega \in \left( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right] \\ 0, \quad poza\ tym \end{cases}}\)
Łatwo widać, że ciąg \(\displaystyle{ X_{1,1}, X_{2,1}, X_{2,2}, X_{3,1},X_{3,2}, X_{3,3}, X_{4,1},...}\) zbiega wg prawdopodobieństwa do zera (bo \(\displaystyle{ P(X_{n, \cdot }>0 ) = \frac{1}{n}}\) ), ale nie jest zbieżny punktowo w żadnym puncie (bo co jakiś czas wyskoczy jedynka).