Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

[isio05]

Cześć,

Treść zadania jest następująca:
Na drzewie siedziało \(\displaystyle{ n}\)gołębi i \(\displaystyle{ 3n}\)wróbli. Odleciały dwa ptaki. Prawdopodobieństwo tego, że odleciały dwa gołębie jest równe prawdopodobieństwu zdarzenia, że odleciały jeden wróbel i jeden gołąb. Ile łącznie ptaków siedziało na drzewie?
Więc liczę:
Ilość wszystkich możliwości: \(\displaystyle{ {4n \choose 2} = 2n(4n-1)}\)
Ilość zdarzeń sprzyjających temu, że odleciały tylko gołębie: \(\displaystyle{ {n \choose 2}= \frac{(n-1)n}{2}}\)
Ilość zdarzeń sprzyjających temu, że odleciał 1 wróbel i 1 gołąb \(\displaystyle{ {n \choose 1} {3n \choose 1} =3 n^{2}}\)
Wstawiam to do wzoru i przyrównuje, ale wynik wychodzi błędny. Czy moje początkowe obliczenia są dobre, czy raczej błąd leży późniejszych przekształceniach?

Inne zadanie które mnie zastanawia to:
Spośród liczb \(\displaystyle{ 1-100}\) wybrano jedno liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że cyfrą jedności czwartej potęgi tej liczby jest cyfra\(\displaystyle{ 1}\). Ta, równość że \(\displaystyle{ n^{4}=1000a + 100b + 10c + 1}\) Zachodzi dla liczb zakończonych na \(\displaystyle{ 1,3,7,9}\). Zakładam, że przydałoby się udowodnić, że tak jest i tu pojawia się moje pytanie czy dowód:
\(\displaystyle{ (10n+7) ^{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ n={1...9}}\) i wykazanie, że tylko \(\displaystyle{ 7}\) wpływa ma liczbę jedności, a \(\displaystyle{ 7 ^{4}=2401}\) jest wystarczający? Oczywiście przeprowadzony dla każdej liczby z osobna.

[Michalinho]

W tym drugim najlepiej oblicz \(\displaystyle{ \left( 10n+k\right)^{4}}\), dla \(\displaystyle{ k=0,1,\ldots , 9}\). Stąd już łatwo wyjdzie. Albo z kongruencji.

[szachimat]

A w tym pierwszym nie widzę błędu. Może jeszcze coś jest w treści, co mogłeś przeoczyć.

[isio05]

Michalinho, fakt, wtedy otrzymamy to samo, ale bez rozbijania tego na 4 przypadki + osobne dowody dla 0,2,4,5,6,8.

szachimat, Treść przeczytałem dokładnie parę razy i przepisałem ją słowo w słowo tutaj.
Może dopiszę równanie jakie otrzymałem do wyliczenia z moich założeń:
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)n}{2 \cdot 2n(4n-1)}= \frac{3n ^{2} }{2n(4n-1)}}\)
Wszystko z nim w porządku?

[szachimat]

W porządku. Ja też tak mam. Już myślałem, że może ptaki odfruwały kolejno. Ale i tak i tak delta wychodzi brzydka.

[isio05]

Czyli? Jedyną odpowiedzią jest, że na gałęzi siedziało łącznie \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) ptaka?

[szachimat]

Dlatego potwierdzam, że coś jest "skopane" w treści. Nawet ta \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) by nie wyszła, bo pojawiają się pierwiastki.

[isio05]

Ok, dzięki. Może faktycznie coś w zadaniu jest skopane...