Cyfry od 0 do 9 ustawiamy losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pomiędzy jedynką i dwójką będą stały dokładnie trzy cyfry? Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ 1,2,3}\) będą stały obok siebie w podanej kolejności?
Wszystkich ustawień cyfr jest \(\displaystyle{ 10!}\).
a) Rozpatrujemy taki pięciocyfrowy pociąg: \(\displaystyle{ 1\ \_\ \_\ \_\ 2}\). Ustawień lokomotywy jest 2 (jedynka lub dwójka). Możliwości ustawień pociągu w 10-cyfrowym szeregu jest 6 (bo pierwsza cyfra może stać na pierwszym, drugim, ..., piątym lub szóstym miejscu). No i pozostaje nam 8 cyfr do przepermutowania. Zatem szukanych pociągów jest \(\displaystyle{ 2 \cdot 6 \cdot 8!}\), prawdopodobieństwo ustawienia takiego to \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 6 \cdot 8!}{10!}=\frac{2}{15}}\).
b) Teraz ustawiamy pociąg trzycyfrowy: \(\displaystyle{ 123}\). Możliwości ustawień go w szeregu jest 8. Resztę cyfr permutujemy na \(\displaystyle{ 7!}\) sposobów. Szukanych pociągów jest więc \(\displaystyle{ 8 \cdot 7!}\), a prawdopodobieństwo ustawienia takiego to \(\displaystyle{ \frac{8 \cdot 7!}{10!}=\frac{1}{90}}\).
Dobrze?
