Witam!
Uprzejmie proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania.
Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,\dots \sim U(-1,1)}\) będą niezależne. Czy ciąg
\(\displaystyle{ M_n=X_0X_1+\frac{1}{2^2}(X_0+X_1)X_2+\frac{1}{3^2}(X_0+X_1+X_2)X_3+\dots+\frac{1}{n^2}(X_0+\dots+X_{n-1})X_n}\)
jest zbieżny w \(\displaystyle{ L^2}\)? Czy jest zbieżny p.n.?
Warunkiem równoważnym zbieżności w \(\displaystyle{ L^p}\) i p.n. dla \(\displaystyle{ p>1}\) jest
\(\displaystyle{ \sup_n\mathbb{E}|M_n|^2<\infty}\).
Korzystamy z nierówności trójkąta i otrzymujemy wyrazy mieszane. Z niezależności możemy sobie rozbić wartość oczekiwaną iloczynu na iloczyn wartości oczekiwanych zmiennych losowych. W każdym takim składniku sumy jest wyraz postaci \(\displaystyle{ \mathbb{E}|X_i|}\), ale jest on równy zeru, stąd cała suma jest równa zeru, stąd supremum także. Jest zatem i ograniczone. Na mocy tw. o zbieżności martyngałów w przestrzeni \(\displaystyle{ L^p}\) jest on zbieżny (p=2) zarówno w tej przestrzeni, jak i p.n.
To wszystko? Nigdzie się nie pomyliłem? Coś prosto poszło.
Pozdrawiam