Witam!
Proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania.
Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,\dots}\) będą niezależnymi zmiennymi Rademachera. Niech \(\displaystyle{ Y_i= \sum_{j=1}^{i}X_j}\) oraz \(\displaystyle{ S_n = \sum_{i=1}^{n}Y_i}\). Znaleźć ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) taki, że \(\displaystyle{ \frac{S_n}{a_n}}\) zbiega wg. rozkładu do \(\displaystyle{ N(0,1)}\).
\(\displaystyle{ S_n=Y_1+\dots +Y_n=nX_1 + (n-1)X_2 + \dots + 2X_{n-1} + X_n}\)
\(\displaystyle{ \frac{S_n}{a_n}= \sum_{i=1}^{n} \frac{(n-i+1)X_i}{a_n}}\).
Poszczególne zmienne są niezależne. Sprawdzamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n Var(\frac{(n-i+1)X_i}{a_n}) = \frac{1}{a_n^2} \left[ \sum_{i=1}^{n} (n+1)^2 + \sum_{i=1}^{n} i^2 + \sum_{i=1}^{n} i(n-1) \right] =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{a_n^2} \left[ n(n+1)^2+ n(n+1)(2n+1)/3 + n(n-1)(n+1) \right]}\). Za wyraz ciągu bierzemy pierwiastek wyrażenia w nawiasie kwadratowym. Trzeba jeszcze sprawdzić warunek Lapunowa, właśnie się za to biorę. Póki co jest ok?
Dziękuję i pozdrawiam