Wartość oczekiwana funkcji momentu zatrzymania.

[alfalf]

Witam!
Mam problem z zadaniem z egzaminu.
Niech \(\displaystyle{ \xi_1,\xi_2,\dots}\) będą niezależnymi zmiennymi o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\xi_i=1)=\frac{1}{2}=\mathbb{P}(\xi_i=-1)}\). Zdefiniujmy \(\displaystyle{ S_0=0, S_n=\xi_1+\dots+\xi_n}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\) oraz połóżmy \(\displaystyle{ \tau=\inf\left\{ n:|S_n|=7 \right\}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E}2^{-\tau}}\).
Wskazówka: Znaleźć \(\displaystyle{ \lambda}\) takie, że \(\displaystyle{ M_n=(e^{\lambda S_n}+e^{-\lambda S_n})2^{-n}}\) jest martyngałem.

Ok, piszę sobie warunek na martyngał i otrzymuję, że \(\displaystyle{ \lambda=0}\), więc \(\displaystyle{ M_n=2^{-(n-1)}}\). Dalej rozumuję (na zasadzie dziecka we mgle, więc proszę o pomoc), że skoro to martyngał to wartość oczekiwana \(\displaystyle{ M_n}\) jest stała, biorę sobie wartość oczekiwaną powyższej równości podstawiając wcześniej \(\displaystyle{ \tau}\) zamiast \(\displaystyle{ n}\). Tak wolno? Jeśli tak, to jak to ładnie uzasadnić? Hm, nie no to trochę nie ma sensu. Może trzeba jakoś skorzystać z tożsamości Walda? Jak to zrobić? Problem głównie w tym, że nie wiem jak od n-ów przejść to momentów stopu.

Proszę o pomoc i pozdrawiam