Znajdź dystrybuantę zmiennej losowej

[nnnmmm]

Zmiena losowa \(\displaystyle{ X}\) ma dystrybuantę
\(\displaystyle{ F(x)=\left\{\begin{array}{l}0 ~x \le -1\\ \frac{x+1}{4} ~-1<x \le 3\\1~ x>3 \end{array}}\)

Znajdź dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=\left| X\right|}\)


Mamy tutaj wartość bezwzględną, czy należy podejść do tego w taki sposób:

Jeśli zmienna losowa przypisuje dla jakiegoś \(\displaystyle{ x_{i}}\) jego prawdopodobieństwo\(\displaystyle{ P(X= x_{i})}\) - tutaj akurat mamy rozkład ciągły więc te punkty są nieprzeliczalne(?) - dobrze mówię

to z razji wartości bezwględnej \(\displaystyle{ x_{i}}\) dla którego ona przyjmuje wartości ujemne przyjmą wartość dodatnią, czyli \(\displaystyle{ P(X= \left| x_{i}\right|}\) czyli sens ma rozpatrywanie jedynie punktów od \(\displaystyle{ x_{i} \ge 0}\)? Czy dobrze myślę?

[SlotaWoj]

Ja bym dystrybuantę \(\displaystyle{ F}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) obrócił (symetria) względem osi \(\displaystyle{ 0F}\) i dodał do dystrybuanty \(\displaystyle{ F}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) . Wyszłoby coś takiego:

• \(\displaystyle{ F(y)=\begin{cases}\ \ 0 \quad\ y<0 \\ \ \ \frac{1}{2} \quad\ 0<y<1 \\ \frac{y+1}{4} \quad 1<y<3 \\ \ \ 1 \quad\ \ y>3 \end{cases}}\)

[nnnmmm]

A czy mój tok rozumowania jest poprawny?

[miodzio1988]

Nie. Mało sensowne się to wydaje.

Bo w sumie piszesz:

\(\displaystyle{ P(\left| X \right| = x_{i} )= P( X=\left| x_{i} \right| )}\)

A to może do róznych bzdur sprowadzać problem, bo coś z tymi ujemnymi atomami też trzeba zrobić, nie?

Ja bym po prostu ze zwykłej definicji skorzystał

\(\displaystyle{ F(y)= P(Y \le y) = P( \left| X \right| \le y)}\)

No i teraz rozpisujesz dla róznych \(\displaystyle{ y}\) co się dzieje

[SlotaWoj]

W poprzednim swoim poście zaproponowałem intuicyjny sposób wyznaczenia poszukiwanej dystrybuanty na podstawie dystrybuanty wyjściowej. Niestety, intuicja mnie zawiodła, bo zaproponowałem dodawanie zamiast odejmowania obróconego fragmentu dystrybuanty wyjściowej.

Innymi słowy: Podana przeze mnie dystrybuanta jest zła.

Miodzio1988 ma rację, najlepiej skorzystać z definicji.