Grześ i Jaś rzucają na przemian monetą. Jaś wygrywa, gdy pojawią się kolejno OOR, Grześ –
gdy ROR. Jakie są prawdopodobieństwa wygranej dla obu chłopców?
Zadanie rozwiązane jest w książce "wstęp do teorii prawdopodobieństwa" ale do końca nie rozumiem przedstawionego tam rozwiązania.
Niech \(\displaystyle{ W_{1}}\)– wygra Jaś, \(\displaystyle{ W_{2}}\)– wygra Grześ,
\(\displaystyle{ O_{k}}\)– w k-tym rzucie wypadł orzeł,
\(\displaystyle{ R_{k}}\)– w k-tym rzucie wypadła reszka.
\(\displaystyle{ x=P\left( W_{1}| O_{1} \cap O _{2} \right)}\),\(\displaystyle{ y=P\left( W_{1} |O _{1} \cap R _{2} \right)}\), \(\displaystyle{ z=P\left( W_{1} |R _{1} \cap O _{2} \right)}\), \(\displaystyle{ w=P\left( W_{1} |R _{1} \cap R _{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ y=P\left( W_{1} |O _{1} \cap R _{2} \cap O _{3} \right)P\left( O_{3} |O _{1} \cap R _{2} \right)+P\left(W_{1} |O _{1} \cap R _{2} \cap R _{3} \right))P\left( R_{3} |O _{1} \cap R _{2} \right)= \frac{1}{2}z+ \frac{1}{2}w}\) \(\displaystyle{ \left( *\right)}\)
Rozumiem ze tutaj korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite ale nie rozumiem drugiej strony równości.
Analogicznie miałoby być
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot 1}\),\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}x+0}\), \(\displaystyle{ w= \frac{1}{2}w+ \frac{1}{2}z}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ z=w=y= \frac{1}{2}}\) oraz ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite \(\displaystyle{ P\left( W_{1} \right)= \frac{5}{8}}\). Podobne rozumowanie pokazuje że \(\displaystyle{ P\left( W_{2} \right)= \frac{3}{8}}\). Wynika stąd, że z prawdopodobieństwem 1 gra zakończy się wygraną jednego z chłopców.
Proszę o wytłumaczenie mi czemu dana równość \(\displaystyle{ \left( *\right)}\)ma miejsce.
