Losowanie kul

[nnnmmm]

W urnie znajdują się 3 kule białe i 2 czarne. Powtarzamy następujące doświadczenie. Losujemy z urny kulę, odkładamy na bok i dorzucamy do urny kulę białą. Dopiero po trzykrotnym doświadczeniu w urnie nie było już kul czarnych. Oblicz Prawdopodobieństwo, że w pierwszym doświadczeniu wylosowano kulę czarną.

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{4}{7}}\)

Mi wychodzą \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)

Rozwiązanie:

Możemy wylosować CCB, BCC, CBC - wtedy w czwartym losowaniu mamy już 5 kul białych
Jeśli bierzemy układ:
\(\displaystyle{ CCB =2*1*5}\)- bo po każdym zabraniu kuli czarnej dodajemy białą
\(\displaystyle{ BCC=3*2*1}\)
\(\displaystyle{ CBC=2*4*1}\) - bo po wylosowaniu czarnej za pierwszym razem w drugim losowaniu mamy 1 czarną i 4 Białe

Stąd moc \(\displaystyle{ \Omega = 10+6+8=24}\)

Nas interesują pary układy gdzie mamy zawsze czarną na pierwszy miejscu \(\displaystyle{ CCB, CBC}\) i takich możliwości jest \(\displaystyle{ 10+8=18}\)

Co daje wynik \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)

Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

Edit. Doszedłem do rozwiazania - "dopiero po trzecim losowaniu nie ma kuli czarnej" to oznacza, że odpada nam kombinacja

\(\displaystyle{ CCB}\)

- wtedy już po drugim losowaniu nie mamy kuli czarnej.

Ostatecznie wychodzi:\(\displaystyle{ \frac{2*4*1}{\left( 2*4*1\right) +\left( 3*2*1\right) }= \frac{4}{7}}\)

Teraz chyba się wszystko zgadza. Czy mogę poprosić kogoś o rozpisanie tego bardziej "oficjalnie" korzystając z prawdopodobieństwa warunkowego.

[SlotaWoj]

Zdanie: Dopiero po trzykrotnym doświadczeniu w urnie nie było już kul czarnych należy rozumieć, że przed trzecim losowaniem w urnie była jedna kula czarna. Wtedy losowania dwóch kul mogą być następujące: CB i BC.
Nie wiem, czy autor zadania zwracał uwagę na precyzję sformułowań i wynik \(\displaystyle{ 3/4}\) odpowiada sytuacji, którą przedstawiłem.

Do SzachiMat (poniżej).
Z tego co napisałem wynika, że nie może być losowania CCB, o którym pisała autorka wątku.

[szachimat]

Zdanie: Dopiero po trzykrotnym doświadczeniu w urnie nie było już kul czarnych należy rozumieć, że przed trzecim losowaniem w urnie była jedna kula czarna. Wtedy losowania dwóch kul mogą być następujące: CB i BC.
Nie wiem, czy autor zadania zwracał uwagę na precyzję sformułowań i wynik \(\displaystyle{ 3/4}\) odpowiada sytuacji, którą przedstawiłem.

"przed trzecim losowaniem w urnie była jedna kula czarna. Wtedy losowania dwóch kul mogą być następujące: CB i BC" - które to są losowania, bo nie wiem,co masz na myśli. Czy patrząc na trzy losowania chodzi ci o to: CBC, BCC?-- 19 lut 2015, o 12:36 --\(\displaystyle{ A_{1}}\) - w pierwszym doświadczeniu wylosowano kulę białą
\(\displaystyle{ A_{2}}\) - w pierwszym doświadczeniu wylosowano kulę czarną
\(\displaystyle{ T}\) - trafienie na taki układ, że dopiero po trzykrotnym doświadczeniu w urnie nie było już kul czarnych

\(\displaystyle{ P(A _{1})= \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ P(A _{2})= \frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle{ P(T/ A_{1})= \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5}= \frac{2}{25}}\)
\(\displaystyle{ P(T/ A_{2})= \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}= \frac{4}{25}}\)

\(\displaystyle{ P(T)=P(T/ A_{1}) \cdot P(A _{1})+P(T/ A_{2}) \cdot P(A _{2})= \frac{14}{125}}\)

Ze wzoru Bayesa:
\(\displaystyle{ P(A _{2}/T)= \frac{P(T/ A_{2}) \cdot P(A _{2}) }{P(T)} = \frac{4}{7}}\)