Prawdopodobieństwo geometryczne

[ajam262]

Losujemy pkt z kwadratu \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\) opisać przestrzeń probabilistyczna. wyznacz dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\) równej sumie współrzędnych wylosowanego pkt.

[Spektralny]

Miara probabilistyczna \(\displaystyle{ \mathsf P}\) to po prostu miara Lebesgue'a na kwadracie \(\displaystyle{ \Omega = [0,1]^2}\). Mamy zatem zmienną losową \(\displaystyle{ X((x,y)) = x+y}\).

Dystrybuanta:

\(\displaystyle{ F(t) = \mathsf P (x+y \leqslant t)}\) = pole obszaru ograniczonego przez proste \(\displaystyle{ x=0, y=0, y=1, x=1, y=t-5}\).

W zależności od \(\displaystyle{ t}\) jest to albo trójkąt albo trapez. Spróbuj wyznaczyć wzór na to pole w zależności od \(\displaystyle{ t}\) - to będzie Twoja dystrybuanta. Gęstość to pochodna z dystrybuanty.

[a4karo]

\(\displaystyle{ y=t-x}\) (i nie trapez, raczej kwadrat z wycietym trójkątem)