Losowanie delegacji

[czugi]

Witam. Mam problem z rozwiązanie takiego zadania:
W firmie A pracują między innymi prezesi Jan i Jacek oraz sekretarka Ania. Spośród pracowników firmy, która zatrudnia 20 kobiet i 25 mężczyzn wybieramy 7- osobową delegację na negocjacje. Delegacja musi się składać z 4 mężczyzn i 3 kobiet. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w losowej delegacji znajdą się prezesi Jan i Jacek oraz sekretarka Ania.

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}}\)

Obliczyłam moc zbioru omega.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=C_{20}^{3} \cdot C_{25}^{4}= {20\choose 3}\cdot {25\choose 4}}\)
Proszę o pomoc w obliczenia mocy zbioru A.

[Kacperdev]

Zadanie trochę niejednoznaczne, bo niewiadomo czy wsród zatrudnionych pracowników liczyć prezesów i sekretarke.

Patrząc jednak po Twojej omedze, przyjmijmy, że tak.
Zatem naszą magiczną trójkę wstawiamy "na sztywno".
Z grupy 25 mężczyzn odpadają prezesi i dobieramy pozostałych dwóch facecików:

\(\displaystyle{ {23 \choose 2}}\)

Spróbuj z kobitkami

[jutrvy]

\(\displaystyle{ |A| = {23 \choose 2} \cdot {19 \choose 2}}\), bo patrzymy na ile sposobów możemy dobrać mężczyzn do naszych prezesów i na ile sposobów możemy dobrać kobiety na pani sekretarki.

[czugi]

Ja zapisałabym to następująco:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= {2\choose 2} \cdot {23\choose 2}+ {1\choose 1}\cdot {19\choose 2}}\)
Waham się także, czy powinna tam być zastosowana reguła dodawania, czy reguła mnożenia. Proszę o wyjaśnienie.

[Kacperdev]

Najprościej wytlumaczyć, że mnożymy prawdopodobieństwa gdy mają zajść OBA równocześnie i są niezależne (czyli tak jak mamy tutaj).

Najogólniej prawdopodobieństw dodajemy gdy jest alternatywa miedzy prawdopodobieństwami. Nie wdaję się w szczegóły, ale takie jest ogólne rozróżnienie.

[czugi]

Dziękuję.
Czyli w moim zadaniu będzie:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= {2\choose 2} \cdot {23\choose 2}\cdot {1\choose 1}\cdot {19\choose 2}= {23\choose 2}\cdot {19\choose 2}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{{23\choose 2}\cdot {19\choose 2}}{{20\choose 3}\cdot {25\choose 4}}}\)
Zgadza się?

[Kacperdev]

Tak.

[czugi]

Serdecznie dziękuję za szybką pomoc.