Cześć!
Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach jednostajnych na \(\displaystyle{ \left( 0,2 \right)}\). Zbadać zbieżność prawie wszędzie ciągów:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( \frac{X_1 \cdot X_3 \cdot \ldots \cdot X_{2n-1}}{X_2 \cdot X_4 \cdot \ldots \cdot X_{2n} \right) ^{ \frac{1}{n} }\right\}}}\)
Moje rozwiąznie:
\(\displaystyle{ \left( \frac{X_1 \ldots X_{2n-1} }{X_2 \ldots X_{2n}} \right) ^{ \frac{1}{n} }= \frac{\left( X_1 \ldots X_{2n-1}\right) ^{ \frac{1}{n} } }{\left( X_2 \ldots X_{2n}\right) ^{ \frac{1}{n} } }}\)
Rozpatrzę osobno, do czego zbiega mi licznik, a do czego mianownik. Najpierw licznik:
\(\displaystyle{ \left( X_1 \ldots X_{2n-1}\right) ^{ \frac{1}{n} }}\)
Obłożę to logarytmem. Wówczas:
\(\displaystyle{ \ln \left( X_1 \ldots X_{2n-1}\right) ^{ \frac{1}{n} }= \frac{\ln X_1 + \ldots + \ln X_{2n-1}}{n}}\).
I na mocy MPWL mamy, że powyższy ciąg zbiega prawie wszędzie do\(\displaystyle{ E \ln X_1}\).
Ale żeby "wyjść" z logarytmu, muszę zadziałać teraz liczbą \(\displaystyle{ e}\) i wówczas :
\(\displaystyle{ \left( X_1 \ldots X_{2n-1}\right) ^{ \frac{1}{n} }}\)
zbiegać będzie do \(\displaystyle{ e^{E \ln X_1}}\)
To samo robię w mianowniku. Czy to poprawne rozumowanie?
Z góry dzięki!
Mocne Prawo Wielkich Liczb
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
