Kilka zadań z prawdopodobieństwa

[mich12]

Hej, pomożecie? Z góry dzięki

zad. 1.
Z cyfr \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) tworzymy liczby dziesięciocyfrowe. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej lub podzielnej przez \(\displaystyle{ 3}\).

zad. 2.
W szufladach o numerach \(\displaystyle{ 1,2,3}\) rozmieszczono \(\displaystyle{ 3}\) kule białe, \(\displaystyle{ 3}\) czarne i \(\displaystyle{ 3}\) kule zielone. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w każdej szufladzie będą kule (kule i szuflady rozróżniamy):
a) tego samego koloru
b) trzech kolorów.

zad. 3.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w czteroosobowej rodzinie:
a) co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) osoby urodziły się w tym samym miesiącu
b) dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) osoby urodziły się w tym samym miesiącu

zad. 4.
Spośród liczb \(\displaystyle{ 1,2,..,n (n \ge 3)}\) losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby.
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.
b) Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) prawdopodobieństwo tego, że różnica między większą liczbą a mniejszą jest równa 2, jest większe od \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

zad. 5.
Ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5\right\}}\) losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że ich iloczyn jest parzysty, jeżeli wiadomo, ze ich suma jest parzysta.

[Medea 2]

Pomożemy!

1. Rozpatrz dwa przypadki - pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\). Policz osobno podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) i przez \(\displaystyle{ 3}\). Przez dwa - patrz na ostatnią cyfrę. Przez \(\displaystyle{ 3}\) - w liczbie musi być trzy, sześć lub dziewięć jedynek.

3a. Zdarzenie przeciwne - każda urodziła się w innym!

5. Klasyczne zastosowanie wzoru Bayesa.

[mich12]

Dzięki, ale mam prośbę, czy mógłbyś to zapisać? Z prawdopodobieństwa totalnie leżę, dlatego chciałbym popatrzeć na sposoby rozwiązywania różnych zadań, bo samemu na tę chwilę nie zapisze tego :/

[Medea 2]

Mogłabym, na przykład pierwsze.

Ile jst podzielnych przez dwa? Pierwsza cyfra to z pewnością jeden. Potem jest osiem dowolnych, a ostatnia to zero. Ile jest podzielnych przez trzy? Wybieramy 2, 5 lub 8 miejsc i wstawiamy tam jedynki (mamy jeszcze jedną na początku).

Niektóre liczymy dwa razy, dokładniej: te które są podzielne przez sześć. Trzeba będzie je odjąć. Żeby liczba była podzielna przez 6 musi: mieć ostatnią cyfrę zero i trzy, sześć lub dziewięć jedynek w zapisie.

Teraz rachunki. \(\displaystyle{ D_n}\): ilość liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ n}\).

\(\displaystyle{ D_2 = 2^8}\)

\(\displaystyle{ D_3 = {9 \choose 2} + {9 \choose 5} + {9 \choose 8}}\)

\(\displaystyle{ D_6 = {8 \choose 2} + {8 \choose 5} + {8 \choose 8}}\)

[szachimat]

Ad 5.
A - iloczyn parzysty
B - suma parzysta

Wszystkich par jest 20 (moc omegi) - możesz wypisać wszystkie, żeby porównać wyniki poniżej:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{14}{20}}\) - dalej nie wykorzystywane
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{8}{20}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{2}{20}}\)

\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}=...}\)

[mich12]

Medea 2, przepraszam, ale ze mnie pacan :/

Dzięki Wam za te zadania!
z 3 sobie już poradziłem, czy moglibyście pomóc z 2 i 4 ?

[Medea 2]

4a: skorzystaj z tego, że albo pierwsza liczba jest większa, albo druga.

4b: moc omegi jest chyba oczywista, sprzyjających zdarzeń jest \(\displaystyle{ 2(n-2)}\) (losujemy albo najpierw coś od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n-2}\), a potem kulę z numerem o dwa większym, albo w odwrotnej kolejności).

[szachimat]

Ad 2
Jeżeli jeden układ będzie wg schematu \(\displaystyle{ (b _{1},b _{2} , b_{3} , c_{1} , c_{2} , c_{3} ,z _{1}, z_{2} , z_{3})}\) i w miejscach tych liter będziemy wstawiali numery szuflad (1,2,3), to np. układ (1,1,1,1,1,1,1,1,1) oznacza, że wszystkie kule znalazły się w szufladzie nr 1.
A zatem wszystkich możliwych rozmieszczeń tych kul jest: \(\displaystyle{ 3^{9}}\)

Zdarzenie A oznacza, że w każdej szufladzie znalazły się kule.

Rozważmy zdarzenie przeciwne, wg schematu:
1) żadna kula nie znalazła się w szufladzie 3, np. (1,1,2,1,2,2,1,1,1) - takich możliwości mamy \(\displaystyle{ 2 ^{9}}\) (Uwaga: wśród nich są układy z samą 1 i układy z samą 2)
2) żadna kula nie znalazła się w szufladzie 2, np. (1,1,3,3,3,3,1,1,1) - takich możliwości mamy \(\displaystyle{ 2 ^{9}}\) (Uwaga: wśród nich są układy z samą 1 i układy z samą 3)
3) żadna kula nie znalazła się w szufladzie 1, np. (2,2,2,3,2,2,3,3,2) - takich możliwości mamy \(\displaystyle{ 2 ^{9}}\) (Uwaga: wśród nich są układy z samą 2 i układy z samą 3)
A zatem ilość wszystkich takich możliwości to \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 ^{9}-3}\) (odejmujemy 3 dublujące się układy, o których napisałem w uwagach wyżej)

Czyli \(\displaystyle{ P(A) = 1- \frac{3 \cdot 2 ^{9}-3 }{ 3^{9} }}\)

Ad b)
Moc zbioru wynosi: \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=...}\)