Badanie zbieżności ciągu

[karolcia_23]

Hej pomoże ktoś, bo nie ma w ogóle pomysłu. Z góry dzięki
ZAD.:
Niech \(\displaystyle{ X-n}\) będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_n=\frac{1}{n}}\) oraz
\(\displaystyle{ Y_n=e^n 1_{[n^2,+infty)}(X_n), quad n in N}\)
Zbadaj zbieżność ciągu \(\displaystyle{ \left\{ Y_n\right\}}\) według p-stwa, prawie wszędzie i w \(\displaystyle{ L^1}\).

[leszczu450]

karolcia_23, to jedziemy :

Napiszmy, co wiemy:

\(\displaystyle{ Y_n= e^n 1_{ left[ n^2, infty
ight) } left( X_n
ight) , n in NN \ X_n sim f_n left( x
ight) =1_{ left[ 0, infty
ight) } frac{1}{n}e^{- frac{1}{n}x }}\)

Teraz nie ruszymy, jeżeli w jakiś sposób nie odgadniemy granicy naszego ciagu \(\displaystyle{ Y_n}\). Zauważ, że im większe będzie \(\displaystyle{ n}\). Czyli, gdy \(\displaystyle{ n \to \infty}\), to przedział na, którym indykator się nie zeruje będzie coraz mniejszy. Zatem w nieskończoności będziemy mieli granicę \(\displaystyle{ Y=0}\).

Policzmy zatem:

\(\displaystyle{ P left( |Y_n|> varepsilon
ight) = P left( Y_n > varepsilon
ight) = P left( e^n 1_{ left[ n^2, infty
ight) } left( X_n
ight) > varepsilon
ight) =P left( 1_{ left[ n^2, infty
ight) } left( X_n
ight) > frac{varepsilon}{n^2}
ight) =\=P left( 1_{ left[ n^2, infty
ight) } left( X_n
ight) =1
ight) =P left( X_n > n^2
ight) = int_{n^2}^{infty} frac{1}{n}e^{- frac{1}{n}x } dd{x}= frac{1}{e^n}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \sum_{n} \frac{1}{e^n} < + \infty}\) jest szeregiem zbieżnym, jako szereg geometryczny o ilorazie mniejszym od modułu z jedynki.

Zatem wiemy że mamy zbieżność prawie wszędzie, która to implikuje nam zbieżność według prawdopodobieństwa.

Sprawdzenie zbieżności w \(\displaystyle{ L^1}\) sprowadza się do policzenia \(\displaystyle{ EY_n}\). Policz to sama. Podpowiem jedynie, że zbieżność ta nie zachodzi.