Zbieżny ciąg

[karolcia_23]

Witam czy ktoś pomoże rozwiązać takie zadanie? Z góry dziękuje
ZAD.:
Niech dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\), \(\displaystyle{ X_n}\) będzie zmienną losową o rozkładzie
\(\displaystyle{ P(X_n=n)=P(X_n=-n)=\frac{1}{2n^2} \quad P(X_n=0)=1-\frac{1}{n^2}}\).
Wykaż, że ciąg \(\displaystyle{ \left\{ X_n\right\}}\) jest zbieżny wg p-stwa, P-prawie wszędzie oraz \(\displaystyle{ L^1}\), ale nie jest zbieżny \(\displaystyle{ L^2}\).-- 15 lut 2015, o 22:11 --Jak robiłam to zadanie to wyszła mi zbieżność wg p-stwa, P-prawie wszędzie i w \(\displaystyle{ L^1}\), ale też wyszła mi zbieżność w \(\displaystyle{ L^2}\)

[leszczu450]

karolcia_23, no to coś źle musiałaś policzyć. Do czego będzie zbiegało \(\displaystyle{ X_n}\). Ano do \(\displaystyle{ X=0}\). Dlaczego? Bo jak \(\displaystyle{ n \to \infty}\), to zauważ, że prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P \left( X_n=n \right)}\) będzie bliskie zeru, również \(\displaystyle{ P \left( X_n=-n \right)}\) będzie bliskie zeru, zaś prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P \left( X_n=0 \right)}\) będzie baaardzo bliskie jedynki. To oczywiście takie nieformalne machanie rękami, ale jakąś intuicję musisz sobie wyrobić. Ok! Mamy już kandydata. Jedziemy dalej.

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\)

\(\displaystyle{ P \left( |X_n|> \varepsilon \right) \le P \left( |X_n| \neq 0 \right) = 1 - P \left( X_n=0 \right) = 1- \left( 1- \frac{1}{n^2} \right) = \frac{1}{n^2}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \sum_{n} P \left( |X_n|> \varepsilon \right) = \sum_{n} \frac{1}{n^2} < + \infty}\)

Zatem mamy zbieżność ciągu \(\displaystyle{ X_n}\) prawie wszędzie, a zatem i według prawdopodobieństwa.

Sprawdźmy teraz zbieżność w \(\displaystyle{ L^1}\).

\(\displaystyle{ EX_n=n \cdot \frac{1}{n^2}- n \cdot \frac{1}{2n^2} + 0 \cdot \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)= \frac{1}{n} - \frac{1}{2n}= \frac{1}{2n} \to 0}\)

więc mamy zbieżność w \(\displaystyle{ L^1}\)

Sprawdźmy zbieżność w \(\displaystyle{ L^2}\)

\(\displaystyle{ EX_n^2 = n^2 \cdot \frac{1}{n^2} + n^2 \cdot \frac{1}{2n^2}= \frac{3}{2}}\)

a to nie zbiega do zera : ) Więc zbieżność w \(\displaystyle{ L^2}\) nie zachodzi.

[karolcia_23]

W \(\displaystyle{ L^2}\) jest raczej zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\), bo \(\displaystyle{ EX_n^2=n^2\cdot \frac{1}{2n^2}+(-n^2)\cdot \frac{1}{2n^2}=1}\)

[leszczu450]

karolcia_23, nie... Koleżanka zna definicję zbieżności w przestrzeniach \(\displaystyle{ L^p}\) ?

[karolcia_23]

\(\displaystyle{ E|X_n-X|^n}\) w \(\displaystyle{ L^n}\)
a tam się pomyliłam, w złym miejscu była potęga przy \(\displaystyle{ -n}\)
\(\displaystyle{ EX_n^2=n^2\cdot \frac{1}{2n^2}+(-n)^2\cdot \frac{1}{2n^2}=1}\)

\(\displaystyle{ EX_n^2 = n^2 \cdot \frac{1}{n^2} + n^2 \cdot \frac{1}{2n^2}= \frac{3}{2}}\)

-- 16 lut 2015, o 13:09 --
tu zabrakło \(\displaystyle{ 2}\)

[leszczu450]

karolcia_23, i ? Ponawiam pytanie. Czy koleżanka wie, do czego musi zbiegać to wyrażenie:

\(\displaystyle{ E|X_n-X|^p}\)

abyśmy mieli zbieżność \(\displaystyle{ X_n}\) w \(\displaystyle{ L^p}\) ?

[karolcia_23]

do 0

[leszczu450]

karolcia_23, no właśnie. A do czego zbieżne jest u nas wyrażenie \(\displaystyle{ E|X_n-X|^2}\) ?

[karolcia_23]

do \(\displaystyle{ 1}\) bo w Twoich obliczeniach wcześniej zabrakło jednej \(\displaystyle{ 2}\) tu zaznaczonej na czerwono
\(\displaystyle{ E|X_n-X|^2=E|X_n|^2=n^2\cdot \frac{1}{{\red 2}n^2}+(-n)^2\cdot \frac{1}{2n^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \neq 0}\)

[leszczu450]

W \(\displaystyle{ L^2}\) jest raczej zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\), bo \(\displaystyle{ EX_n^2=n^2\cdot \frac{1}{2n^2}+(-n^2)\cdot \frac{1}{2n^2}=1}\)

To miałem czeski błąd. Niemniej jednak chodziło mi o tę wypowiedź. Nie możesz mówić, że mamy zatem zbieżność do \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ L^2}\). Skoro wyrażenie, które teraz sprawdziłaś nie zbiega do zera, to w ogóle nie ma mowy o zbieżności w \(\displaystyle{ L^2}\).

[karolcia_23]

tak po prostu źle się wysłowiłam \(\displaystyle{ EX_n^2=1}\) czyli nie jest zbieżne do \(\displaystyle{ 0}\)

[leszczu450]

karolcia_23, dokładnie : )