Mam zadanie związane z MPWL i nie wiem jak to prawo działa. Czy mógłby mi ktoś pomóc z rozwiązaniem tego zadania a najlepiej wytłumaczyć jak je rozwiązać ? Jestem zielony w tym temacie.
Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, ...}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ \left( 0, \pi \right)}\) Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciagu.
\(\displaystyle{ Y_{n} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i} }{ \sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right) }}\)
Z góry dziękuje za każdą pomoc
Mocne prawo wielkich liczb
-
grabeQ
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 11 gru 2012, o 14:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 6 razy
Mocne prawo wielkich liczb
Ostatnio zmieniony 16 lut 2015, o 01:58 przez leszczu450, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Mocne prawo wielkich liczb
To zaczynamy. Zgodzisz się ze mną, że jeżeli \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) są niezależne, to również \(\displaystyle{ X_1^2 , X_2^2 , \ldots}\) są niezależne oraz \(\displaystyle{ \sin X_1 , \sin X_2 , \ldots}\) są również niezależne. W sumie, przyjmij to na wiarę : ) I w tego typu przykładach zawsze tak będzie. Ok. Ten warunek mamy za sobą. Teraz zauważ, że:
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i} }{ \sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right) }= \frac{ \frac{\sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i}}{n} }{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right)}{n} }}\)
Rozważmy z osobna licznik i mianownik. W liczniku, po rozpisaniu sumy mamy:
\(\displaystyle{ \frac{X_1^2 + \ldots + X_n^2}{n}}\)
Stosujemy MPWL i mamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{X_1^2 + \ldots + X_n^2}{n} \to EX_1^2}\)
Teraz mianownik:
\(\displaystyle{ \frac{\sin X_1 + \ldots + \sin X_n}{n} \to E \sin X_1}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i} }{ \sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right) }= \frac{ \frac{\sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i}}{n} }{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right)}{n} } \to \frac{E X_1^2}{E \sin X_1}}\)
Obliczmy:
\(\displaystyle{ EX_1^2 = \int_{\RR}x^2 \frac{1}{\pi}1_{(0, \pi)} \dd{x}= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x^2 \dd{x}= \frac{1}{\pi} \frac{{\pi}^3}{3}= \frac{{\pi}^2}{3}}\)
\(\displaystyle{ E \sin X_1 = \int_{\RR} \sin x \frac{1}{\pi} 1_{(0, \pi)}\dd{x}= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \sin x \dd{x}= \frac{2}{\pi}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i} }{ \sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right) }= \frac{ \frac{\sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i}}{n} }{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right)}{n} } \to \frac{E X_1^2}{E \sin X_1}= \frac{ \frac{{\pi}^2}{3}}{\frac{2}{\pi}}= \frac{{\pi}^3}{6}}\)
PS: Powodzenia na egzaminie.
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i} }{ \sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right) }= \frac{ \frac{\sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i}}{n} }{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right)}{n} }}\)
Rozważmy z osobna licznik i mianownik. W liczniku, po rozpisaniu sumy mamy:
\(\displaystyle{ \frac{X_1^2 + \ldots + X_n^2}{n}}\)
Stosujemy MPWL i mamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{X_1^2 + \ldots + X_n^2}{n} \to EX_1^2}\)
Teraz mianownik:
\(\displaystyle{ \frac{\sin X_1 + \ldots + \sin X_n}{n} \to E \sin X_1}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i} }{ \sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right) }= \frac{ \frac{\sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i}}{n} }{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right)}{n} } \to \frac{E X_1^2}{E \sin X_1}}\)
Obliczmy:
\(\displaystyle{ EX_1^2 = \int_{\RR}x^2 \frac{1}{\pi}1_{(0, \pi)} \dd{x}= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x^2 \dd{x}= \frac{1}{\pi} \frac{{\pi}^3}{3}= \frac{{\pi}^2}{3}}\)
\(\displaystyle{ E \sin X_1 = \int_{\RR} \sin x \frac{1}{\pi} 1_{(0, \pi)}\dd{x}= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \sin x \dd{x}= \frac{2}{\pi}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i} }{ \sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right) }= \frac{ \frac{\sum_{i=1}^{n} X^{2} _{i}}{n} }{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\sin \left( X_{i} \right)}{n} } \to \frac{E X_1^2}{E \sin X_1}= \frac{ \frac{{\pi}^2}{3}}{\frac{2}{\pi}}= \frac{{\pi}^3}{6}}\)
PS: Powodzenia na egzaminie.