Rozkład jędrny

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 15 lut 2015, o 18:24

Cześć!

Definicja:

Mówimy, że ciąg rozkładów \(\displaystyle{ \mu_1 , \mu_2 , \ldots}\) na \(\displaystyle{ \left( \RR , \mathcal{B}\right)}\) jest jędrny, jeżeli dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) istnieje \(\displaystyle{ K>0}\) takie, że:

\(\displaystyle{ \inf_n \mu_n\left( (-K,K]\right)> 1 - \varepsilon}\)

O co tutaj w ogóle chodzi? Jak zatem rozumieć tę jędrność ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 15 lut 2015, o 18:37

Wyrosła rzepka jędrna i krzepka.

Skoro infimum ma być duże (\(\displaystyle{ >1-\varepsilon)}\), to wszystkie rozkłady na tym przedziale będą przynajmniej tak samo "jędrne": dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \mu_n\bigl((-K,K]\bigr)>1-\varepsilon.}\). Oczywiście na pewno (rozkład to miara probabilistyczna) będzie wtedy \(\displaystyle{ \mu_n\bigl((-\infty,K]\cup(K,\infty)\bigr)\le\varepsilon}\), więc te rozkłady są "prawie że" skupione na \(\displaystyle{ (-K,K].}\)

Warto by przyjrzeć się, po co ta własność jest określana, na potrzeby jakiego dowodu.

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 15 lut 2015, o 18:42

szw1710 pisze:Warto by przyjrzeć się, po co ta własność jest określana, na potrzeby jakiego dowodu.

Zapewne chodzi o , które charakteryzuje relatywną ciągową zwartość w przestrzeni miar probabilistycznych dokładnie przez jędrność.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 15 lut 2015, o 18:48

szw1710, infimum ma być duże ? Przecież \(\displaystyle{ 1- \varepsilon}\) to w sumie coś małego.

Spektralny, u nas zostało to wprowadzone do dowodu Levy'ego- Cramera i innych własności : )

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 15 lut 2015, o 18:50

Małe jest coś około zera, a epsilony są z natury małe. Więc \(\displaystyle{ 1-\varepsilon}\) to ok. jedynki. I to jest małe???

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 15 lut 2015, o 18:50

1 w prawdopodobieństwie jest duże. \(\displaystyle{ 1-\varepsilon}\) również powinno być duże, bo \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jest małe.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 15 lut 2015, o 18:51

leszczu450 pisze:szw1710, infimum ma być duże ? Przecież \(\displaystyle{ 1- \varepsilon}\) to w sumie coś małego.

To jest bardzo duże, wręcz bardzo bliskie \(\displaystyle{ 1}\) - nic większego już nie ma.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 15 lut 2015, o 18:53

szw1710, Spektralny, bartek118, już dobrze już dobrze haha : ) Rozumiem. Ale nadal nie kumam idei jędrności.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 15 lut 2015, o 18:54

Nie od razu Kraków zbudowano. Nie da się wszystkiego pojąć w lot. To są poważne rzeczy. Innymi matematycy się nie zajmują.

Mogłeś jeszcze yorgina dopisać, byłoby bardziej kolorowo

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 15 lut 2015, o 19:10

No dobrze, chyba mniej więcej to rozumiem. Pewnie mniej niż więcej. Niemniej jednak zastanawia mnie dlaczego w ogóle taki dziwny przedział ? Dlaczego nie może to być obustronnie domknięty albo obustronnie otwarty przedział?

Po drugie, zastanawia mnie podobna kwestia:

Mówimy, że ciąg rozkładów \(\displaystyle{ \mu_1, \mu_2 , \ldots}\) na \(\displaystyle{ (\RR, \mathcal{B})}\) jest słabo zbieżny do rozkładu \(\displaystyle{ \mu}\), jeżeli dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b , a<b}\) takich, że \(\displaystyle{ \mu(\left\{ a\right\} )=\mu(\left\{ b\right\}) =0}\) zachodzi zbieżność:

\(\displaystyle{ \mu_n((a,b]) \Rightarrow \mu((a,b])}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 15 lut 2015, o 19:29

Miarę Borela wystarczy zadać na przedziałach takiej postaci, a rozkład jest miarą Borela. Takie przedziały generują \(\displaystyle{ \mathcal{B}(\RR)}\).

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 15 lut 2015, o 23:24

szw1710, co to jest miara Borela?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 15 lut 2015, o 23:32

Miara określona na sigma-ciele zbiorów borelowskich. Inaczej miara borelowska. Miara Lebesgue'a jest w szczególności miarą Borela. Lecz nie każda miara Borela jest miarą Lebesgue'a.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 15 lut 2015, o 23:48

szw1710, dzięki : ) Poleci mi Pan może coś apropos tej jędrności? Albo może pomoże zrozumieć mi Pan fakt, dlaczego:

Każdy skończony ciąg rozkładów jest jędrny?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 15 lut 2015, o 23:50

Nie polecę ani nie pomogę, bo udaję się na spoczynek. Chociaż... BIllingsley Convergence of probability measures.