Zbadać zbieżność szeregu prawie wszędzie

[leszczu450]

Cześć !

Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}X_n}\) prawie wszędzie, jeżeli zmiennej losowe są niezależne i maja rozkład \(\displaystyle{ P(X_n=2^{-n})=P(X_n=0)=1/2}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ EX_n= \frac{1}{2} \cdot 2^{-n}= \frac{1}{2^{n+1}} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}EX_n= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}}< + \infty}\), gdyż jest to szereg geometryczny o ilorazie z przedziału \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\).

\(\displaystyle{ Var X_n = E X_n^2 - (EX_n)^2= \frac{1}{2^{2n+1}} - \frac{1}{2^{2n+2}} = \frac{1}{4^{n+1}} < + \infty}\)

Zatem szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}X_n}\) jest szeregiem zbieżnym prawie wszędzie na mocy twierdzenia o dwóch szeregach.

Czy to jest prawidłowe rozwiązanie? I może głupie pytanie: czy zbieżność prawie wszędzie to to samo co zbieżność \(\displaystyle{ P}\)- prawie wszędzie ?

Z góry dziękuję za pomoc.

[bartek118]

Cześć !

Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}X_n}\) prawie wszędzie, jeżeli zmiennej losowe są niezależne i maja rozkład \(\displaystyle{ P(X_n=2^{-n})=P(X_n=0)=1/2}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ EX_n= \frac{1}{2} \cdot 2^{-n}= \frac{1}{2^{n+1}} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}EX_n= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}}< + \infty}\), gdyż jest to szereg geometryczny o ilorazie z przedziału \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\).

\(\displaystyle{ Var X_n = E X_n^2 - (EX_n)^2= \frac{1}{2^{2n+1}} - \frac{1}{2^{2n+2}} = \frac{1}{4^{n+1}} < + \infty}\)

Zatem szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}X_n}\) jest szeregiem zbieżnym prawie wszędzie na mocy twierdzenia o dwóch szeregach.

Czy to jest prawidłowe rozwiązanie?

Tak.

I może głupie pytanie: czy zbieżność prawie wszędzie to to samo co zbieżność \(\displaystyle{ P}\)- prawie wszędzie ?

Tak.