Definicja Omeg, ciało zbiorów i sigma ciało

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 14 lut 2015, o 23:53

Mam problem ze zrozumieniem pojęcia \(\displaystyle{ \Omega}\), rodziny wszystkich zdarzeń \(\displaystyle{ F}\) i sigma ciała.

1)Omega wiadomo to wszystkie możliwe wyniki jakiegoś eksperymentu

2)F - rodzina wszystkich zdarzeń. Czyli wszystkie podzbiory zbioru Omega. Inaczej mówiąc wszystkie możliwe kombinacje zdarzeń elementarnych, które są w Omega.

Tak na marginesie skoro?
\(\displaystyle{ \Omega \in F}\) Czy można mówić o tym, że F jest większe bądź równe Omega?

3) W książce Jakubowski Sztencel napisano:

"Zdarzeniami nazywami wyłączenie te podzbiory Omega, które należą do F. Nie należy także mylić zdarzenia elementarnego \(\displaystyle{ \omega}\) ze zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ \omega\right\}}\), który w pewnych przypadkach nie musi być nawet zdarzeniem.

Nie rozumiem jaka jest różnica pomiędzy \(\displaystyle{ \omega}\), a \(\displaystyle{ \left\{ \omega\right\}}\) i dlaczego skoro jeśli \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) to zbiór złożonego tylko z tego małego omega, czyli \(\displaystyle{ \left\{ \omega\right\}}\) jest pewnym podzbiorem \(\displaystyle{ \Omega}\), oznaczmy go A czyli to \(\displaystyle{ A \in F}\), więc jak na moje \(\displaystyle{ \left\{ \omega\right\}}\) to pewne zdarzenie A zawsze, czyli w jakich przypadkach to może nie być zdarzenie?!

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 15 lut 2015, o 09:28

1) No tak.

2) Nie. Nie trzeba brać wszystkich podzbiorów, wystarczy dowolne \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało: rodzina zbiorów zamknięta na branie dopełnień i przeliczalnych sum. Nie można nic powiedzieć o rozmiarze \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ \Omega}\): weź \(\displaystyle{ \Omega = \mathbb R}\) (nieprzeliczalne) i \(\displaystyle{ F = \{\varnothing, \mathbb R\}}\) (skończone).

3) Wyobraź sobie, że losujemy liczbę całkowitą od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 100}\). Wtedy zdarzeniem elementarnym nie muszą być: wylosowanie 0, wylosowanie 1, wylosowanie 2 itd. Możemy się na przykład umówić, że nasze \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało składa się ze zbiorów o parzystej mocy.

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 15 lut 2015, o 09:50

Medea 2 pisze:
3) Wyobraź sobie, że losujemy liczbę całkowitą od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 100}\). Wtedy zdarzeniem elementarnym nie muszą być: wylosowanie 0, wylosowanie 1, wylosowanie 2 itd. Możemy się na przykład umówić, że nasze \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało składa się ze zbiorów o parzystej mocy.

Jak to nie muszą? Przecież jak wylosujemy jakaś liczbę od 0 do 100. To na pewno kiedyś trafimy na 0, 1,2 bo to możliwy wynik doświadczenia. Czyli \(\displaystyle{ \Omega=\left\{1,..10}\right\}}\). Nie pomyliłaś zdarzenia elementarnego ze zdarzeniem losowym?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 15 lut 2015, o 09:56

nnnmmm pisze:
Medea 2 pisze:
3) Wyobraź sobie, że losujemy liczbę całkowitą od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 100}\). Wtedy zdarzeniem elementarnym nie muszą być: wylosowanie 0, wylosowanie 1, wylosowanie 2 itd. Możemy się na przykład umówić, że nasze \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało składa się ze zbiorów o parzystej mocy.
Jak to nie muszą? Przecież jak wylosujemy jakaś liczbę od 0 do 100. To na pewno kiedyś trafimy na 0, 1,2 bo to możliwy wynik doświadczenia.

Zależy od danego modelu. Nie myl tu życia z formalną matematyką. Można jak najbardziej wybrać sobie takie sigma-ciało. Pytanie faktycznie brzmi - jaki jest sens takowe rozważać, i tu odpowiedź jest taka, że sensu większego to nie ma w życiu. Ale formalnie matematycznie można to zrobić. Ale można już sobie wyobrazić np. rzut oszukaną kostką, w której nie jest możliwe wyrzucenie \(\displaystyle{ 2}\). Wtedy zbiory zawierające \(\displaystyle{ 2}\) nie znajdą się w naszym sigma-ciele.

nnnmmm · Post autor: **nnnmmm** » 15 lut 2015, o 10:09

bartek118 pisze:
nnnmmm pisze:
Medea 2 pisze:
3) Wyobraź sobie, że losujemy liczbę całkowitą od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 100}\). Wtedy zdarzeniem elementarnym nie muszą być: wylosowanie 0, wylosowanie 1, wylosowanie 2 itd. Możemy się na przykład umówić, że nasze \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało składa się ze zbiorów o parzystej mocy.
Jak to nie muszą? Przecież jak wylosujemy jakaś liczbę od 0 do 100. To na pewno kiedyś trafimy na 0, 1,2 bo to możliwy wynik doświadczenia.
Zależy od danego modelu. Nie myl tu życia z formalną matematyką. Można jak najbardziej wybrać sobie takie sigma-ciało. Pytanie faktycznie brzmi - jaki jest sens takowe rozważać, i tu odpowiedź jest taka, że sensu większego to nie ma w życiu. Ale formalnie matematycznie można to zrobić. Ale można już sobie wyobrazić np. rzut oszukaną kostką, w której nie jest możliwe wyrzucenie \(\displaystyle{ 2}\). Wtedy zbiory zawierające \(\displaystyle{ 2}\) nie znajdą się w naszym sigma-ciele.

Czyli dwa nie będzie zdarzeniem losowym to jest A- polegające na wyrzuceniu A \(\displaystyle{ A \notin F}\), ale 2 też nie może być zdarzeniem elementarnym tak? wtedy \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ 1,3,4,5,6\right\}}\) a skoro F to podzbiory zbioru Omega to. Dobrze to rozumiem?