Rozkład zmiennej losowej

[karolcia_23]

Witam, podpowie ktoś jak to rozwiązać?
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p}\). Jaki rozkład ma zmienna \(\displaystyle{ Y=(-1)^X}\)

[lukasz1804]

Jakie wartości przyjmuje zmienna \(\displaystyle{ Y}\)?

Spróbujmy wyznaczyć jej dystrybuantę:
\(\displaystyle{ P(Y<t)=\begin{cases} 0\ &\mbox{dla}\ t\le -1 \\ \sum_{k=0}^\infty P(X=2k+1)\ &\mbox{dla}\ -1<t\le 1 \\ 1\ &\mbox{dla}\ t>1 \end{cases}}\)

[karolcia_23]

a dlaczego \(\displaystyle{ X=2k+1}\)?

[lukasz1804]

Tylko dla nieparzystych wartości zmiennej \(\displaystyle{ X}\) zmienna \(\displaystyle{ Y}\) przyjmie wartość \(\displaystyle{ -1}\), czyli na pewno będzie mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\).

Najmocniej przepraszam, powinny być właśnie parzyste wartości, czyli \(\displaystyle{ X=2k}\). Dawno nie miałem styczności z rozkładem geometrycznym.

[leszczu450]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=1) = \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(X=2n) = \sum_{n=1}^\infty (1-p)^{2n-1}p= p \sum_{n=1}^\infty (1-p)^{2n-1}= p\left( \left( 1-p\right)^1 + (1-p)^3 + \ldots \right)= p \cdot \frac{1-p}{1- (1-p)^2} = \frac{1-p}{2-p}}\)

Analogicznie \(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=-1)}\)