Rozkład zmiennej losowej, rozbicie

[Kaef]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny o parametrach \(\displaystyle{ m, \sigma}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej

\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} \sqrt{X}, &\mbox{dla} \ X>0 \\ X, &\mbox{dla} \ X \le 0\end{cases}}\)

Czy rozkład \(\displaystyle{ Y}\) jest absolutnie ciągły?

Jakie są na takie zadania sposoby? Jeden znam, rozbicie - ale jak zaczynam to rozpisywać to się gubię... więc jest jakiś prostszy? Czy rozbicie jest proste i przyjemne, ale po prostu trzeba to zrozumieć?

[lukasz1804]

Rozbijanie jest podstawową metodą i moim zdaniem nie warto używać innej. W podanym przykładzie jest w dodatku o tyle prosto, że \(\displaystyle{ Y}\) jako funkcja zmiennej \(\displaystyle{ X}\) jest ściśle monotoniczna (ściśle rosnąca, mówiąc dokładnie) i ciągła.

Łatwo zauważysz, że jeśli \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą zmiennej \(\displaystyle{ X}\), to dystrybuanta \(\displaystyle{ G}\) zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) wyraża się wzorem \(\displaystyle{ G(t)=\begin{cases} F(t)\ &\mbox{dla}\ t\le 0 \\ F(t^2)\ &\mbox{dla}\ t>0 \end{cases}}\).