urny A i B: losujemy kule z A i bez patrzenia wkładamy do B

[maillo93]

W urnie A są 4 kule białe i 2 czarne, w urnie B są 2 niebieskie i 3 czarne. Z urny A losujemy jedną kule i bez sprawdzania wkładamy do urny B. Następnie losujemy kulę z urny B i jest ona czarna. Jakie będzie prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z urny A?

[chris_f]

Najpierw tw. Bayesa - co spowodowało wylosowanie czarnej kuli z \(\displaystyle{ B}\), a potem zgodnie z tymi wynikami zwykłe prawdopodobieństwo warunkowe dla \(\displaystyle{ A}\) dla wylosowania kuli białej.

[szachimat]

\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)
Ponieważ: \(\displaystyle{ P(B/A)= \frac{P(B \cap A)}{P(A)}}\)
Więc: \(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(B \cap A)=P(B/A) \cdot P(A)}\)

A zatem: \(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{P(B/A) \cdot P(A)}{P(B)}}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{5}{9}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(B/A)= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(A/B)=.....}\) - to należy wyliczyć