Rozkład zmiennej losowej z maksimum

[Kaef]

Witam, mam problem z pewnym zadaniem, a mianowicie:

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład o gęstości:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{3} x^2, \qquad x \in [-1,2] \\ 0 \qquad \qquad poza \quad tym \end{cases}}\)

Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=\max \lbrace X,1 \rbrace}\). Czy rozkład \(\displaystyle{ Y}\) jest absolutnie ciągły?

No to liczę...
\(\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\max \lbrace X,1\rbrace\le y)=P(X\le y \wedge 1 \le y)=}\)
\(\displaystyle{ =P(X\le y)P(1 \le y) = F_X(y) \cdot (?)}\)

Wyznaczyłam dystrybuantę X, więc pierwszy czynnik mam załatwiony, ale nie wiem, co z tym drugim \(\displaystyle{ P(1 \le y)}\). Czy jest w stanie ktoś mi pomóc?

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ P(1\le y)=\begin{cases} 1\ &\mbox{dla}\ y\ge 1 \\ 0\ &\mbox{dla}\ y<1 \end{cases}}\)

[Kaef]

A skąd to się bierze? I jak mam to wtedy wymnożyć?

[lukasz1804]

Będzie to wyglądało tak:

\(\displaystyle{ F_Y(y)=\begin{cases} F_X(y)\ &\mbox{dla}\ y\ge 1 \\ 0\ &\mbox{dla}\ y<1 \end{cases}}\)

[Kaef]

Skąd tamto wcześniejsze się wzięło?

I jeśli

\(\displaystyle{ F_X(x)= \begin{cases} 0 &\mbox{dla} \ x \in (-\infty,-1] \\ \frac{x^3+1}{9} &\mbox{dla} \ x \in (-1,2] \\ 1 &\mbox{dla} \ x \in (2,\infty) \end{cases}}\)

to mógłbyś pokazać, jak będzie to wyglądało podstawione pod to, co napisałeś? Bo nie umiem sobie tego uzmysłowić...

Czy to będzie coś takiego:


\(\displaystyle{ F_Y(y)= \begin{cases} 0 &\mbox{dla} \ y \in (-\infty,1)\\ \frac{y^3+1}{9} &\mbox{dla} \ y \in [1,2] \\ 1 &\mbox{dla} \ y \in (2,\infty) \end{cases}}\) ?

[lukasz1804]

Jest tak, że \(\displaystyle{ P(y\ge 1)}\) ustosunkowuje się do wartości logicznej zdania, które zawiera.

\(\displaystyle{ F_Y(y)=egin{cases} 0 &mbox{dla} yin(-infty,1) \ frac{y^3+1}{9} &mbox{dla} y in [1,2) \ 1 &mbox{dla} y in [2,infty) end{cases}}\)

Pozwoliłem sobie zamienić nawiasy w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ y=2}\) dla ujednolicenia zapisu.)

Zatem dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) będzie miała skok w \(\displaystyle{ y=1}\).

[Kaef]

Ok, więc mam jeszcze dwa pytania:

Co by było, gdyby zamiast \(\displaystyle{ \max \lbrace 1,X \rbrace}\) było np. \(\displaystyle{ \max \lbrace 3,X \rbrace}\)?
I co, gdyby zamiast \(\displaystyle{ \max \lbrace 1,X \rbrace}\) było \(\displaystyle{ \min \lbrace 1,X \rbrace}\)?

[lukasz1804]

Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ Y=\max\{3,X\}}\), to \(\displaystyle{ F_Y}\) jest równe zeru na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,3)}\) (bo \(\displaystyle{ P(Y<y)=P(X<y)P(3<y)=P(X<y)\cdot 0=0}\)), natomiast na przedziale \(\displaystyle{ [3,+infty)}\) \(\displaystyle{ F_Y}\) zachowuje się tak jak \(\displaystyle{ F_X}\) (bo \(\displaystyle{ P(Y<y)=P(X<y)P(3<y)=P(X<y)\cdot 1=F_X(y)}\)), tj. ma wartość równą \(\displaystyle{ 1}\).
Reasumując, mamy \(\displaystyle{ F_Y(y)=egin{cases} 0 &mbox{dla} yin(-infty,3) \ 1 &mbox{dla} yin[3,+infty) end{cases}}\).

Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ Y=\min\{1,X\}}\), to rachunki są odrobinę trudniejsze - trzeba skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy.
Mamy bowiem \(\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y<y)=P(1<y\vee X<y)=P(1<y)+P(X<y)-P(1<y\wedge X<y)=P(1<y)+F_X(y)-F_X(y)P(1<y)}\). Można teraz skorzystać z rozważań dla \(\displaystyle{ Y=\max\{1,X\}}\).

[Kaef]

Czyli niezależnie od tego jaką liczbą jest moje \(\displaystyle{ a>0}\) w \(\displaystyle{ P(a<y)}\) mam \(\displaystyle{ P(a<y)= \begin{cases} 1 &\mbox{dla} \ y>a \\ 0 &\mbox{dla} \ y<a \end{cases}}\) ?

[lukasz1804]

Nawet dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in\RR}\) jest \(\displaystyle{ P(a<y)= \begin{cases} 1 &\mbox{dla} \ y>a \\ 0 &\mbox{dla} \ y\le a \end{cases}}\).

[Kaef]

Okej, wielkie dzięki