liczba rozwiązań równania, zamowanie miejsc w przedziale

[nastirasti]

1.Ile rozwiazań całkowitych nieujemnych ma równanie a+b+c+d=15

2. w przedziale jest 8 ponumerowanych miejsc po 4 w kazdym rzedzie.Do tego przedzialu wsiadło 6 osob. jakie jest prawdopodobieństwo ze zajmując losowo miejsca usiądą w 3 parach- naprzeciwko siebie.

[Brumby]

1. Do pierwszego: zwykła kombinatoryka. Jak całkowite i nieujemne to z zerem a więc 15,0,0,0 0,15,0,0 (4 kombinacje), później z czternastką - czternastka też może być na czterech różnych miejscach, ale tam wystąpi jeszcze jedynka - która - jak czternastka jest na pierwszym miejscu - to ona może być na drugim, trzecim, czwartym - czyli 3 możliwości jak czternastka jest na pierwszym, trzy możliwości jedynki jak czternastka jest na drugim miejscu - więc w sumie 4*3 = 12 kombinacji z czternastką i tak trzeba sobie analizować dalej.

[Grzegorz t]

\(\displaystyle{ 6}\) osób może usiąść na \(\displaystyle{ 8}\) ponumerowanych miejscach na \(\displaystyle{ C^6_8\cdot 6!}\) sposobów czyli na \(\displaystyle{ 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8=20160}\)sposobów.
Teraz spośród tych osób wybieramy dwie, które usiądą naprzeciwko siebie i mogą oni jeszcze wybrać jeden z czterech rzędów zatem takich sposobów mamy \(\displaystyle{ C^2_6\cdot 2!\cdot 4}\), i jednocześnie do każdego takiego sposobu inne dwie osoby mogą zająć również miejsca naprzeciwko siebie ale tylko już mając do dyspozycji trzy rzędy czyli na \(\displaystyle{ C^2_4\cdot 2!\cdot 3}\) i podobnie dalsze dwie osoby mogą już tylko wybgać dwa rzędy po pozostałe zostały zajęte, czyli \(\displaystyle{ C^2_2\cdot 2!\cdot 2}\) zatem ostatecznie tych sposobów mamy \(\displaystyle{ C^2_6\cdot 2!\cdot 4\cdot C^2_4\cdot 2!\cdot 3\cdot C^2_2\cdot 2!\cdot 2=17280}\), czyli prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P=\frac{17280}{20160}=\frac{6}{7}}\)

[max]

1. Do pierwszego: zwykła kombinatoryka. Jak całkowite i nieujemne to z zerem a więc 15,0,0,0 0,15,0,0 (4 kombinacje), później z czternastką - czternastka też może być na czterech różnych miejscach, ale tam wystąpi jeszcze jedynka - która - jak czternastka jest na pierwszym miejscu - to ona może być na drugim, trzecim, czwartym - czyli 3 możliwości jak czternastka jest na pierwszym, trzy możliwości jedynki jak czternastka jest na drugim miejscu - więc w sumie 4*3 = 12 kombinacji z czternastką i tak trzeba sobie analizować dalej.

Można znacznie sprawę uprościć korzystając z wzoru na liczbę kombinacji z powtórzeniami - wybieramy 15 kulek z 4 różnych pojemników, przy czym kule z tego samego pojemnika nie są rozróżnialne - innymi słowy 15 razy wybieramy jeden pojemnik z czterech, z którego to pojemnika weźmiemy kulkę. Możemy tego dokonać na:
\(\displaystyle{ \overline{C}_{4}^{15} = {4 + 15 - 1\choose 15} = {18\choose 3}}\)
sposobów.

Obszerniejszy komentarz dotyczący tego typu zadań znajduje się w temacie:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=21423