Kostka z pustymi ścianami

[miecczybyc]

Rzucamy sześcioma kostkami do gry. Każda kostka ma pięć ścian pustych, a na szóstej ściance każdej kostki znajduje się liczba od 1 do 6, na każdej kostce inna. Gracz rzuca wszystkimi kostkami jednocześnie i dostaje tyle monet ile wynosi suma wyrzuconych oczek.
Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję wygranej gracza.

Nie wiem od czego zacząć? Jedyne co mi się nasuwa na myśl, to wyznaczenie \(\displaystyle{ x_{i}}\) w rozkładzie prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{a|b|c|d|e|f|g|h|i|j|k|l|m|n}
x_{i} \ & \0 & 0 & 0 &\ 0 &\ 0 &\ 0 & 1 & 2\ & 3\ & 4 & 5\ &\ 6 \\
p_{i} \\
\end{tabular}}\)

[_radek]

Po kolei z definicji prawdopodobieństwo wyrzucenia jedynki na pierwszej kostce to \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\), pustego pola (zera, bo się nie liczy do sumy) \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\). Wartość oczekiwana to \(\displaystyle{ \EE X_{1} = 1\cdot P(X_{1}=1)+0\cdot P(X_{1}=0)=\frac{1}{6}}\), ok?
\(\displaystyle{ \EE X_{2}=\frac{2}{6} \\
.\\
.\\
.\\
\EE X_{6}= 6\cdot \frac {1}{6} +0 \cdot \frac{5}{6}=6}\)
wartość oczekiwana sumy, to suma wartości oczekiwanych więc zostaje Ci policzyć \(\displaystyle{ \frac{1+2+3+4+5+6}{6}}\)

Wariancje tak samo dla poszczególnych kostek z definicji, później korzystając z tego że wyniki na poszczególnych kostkach są niezależne suma wariancji da nam wariancję sumy

[miecczybyc]

Hm, a dlaczego \(\displaystyle{ P(X_{1}=1)}\) a nie \(\displaystyle{ P(X_{6}=1)}\)? Przecież rzucamy sześcioma kostkami.

W \(\displaystyle{ EX_{6}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{6}{6}}\) czyli 1, a nie 6.

\(\displaystyle{ Var X = E(X)^{2} - (EX)^{2}}\)
\(\displaystyle{ EX = \frac{21}{6}}\)
\(\displaystyle{ E(X)^{2} = \frac{91}{6}}\)

Wychodzi na to, że \(\displaystyle{ E(X)^{2} < (EX)^{2}.}\)

[_radek]

\(\displaystyle{ \EE X_{1}}\) to wartość oczekiwana sumy oczek na pierwszej kostce i tylko na niej. Rzucamy sześcioma kostkami więc sobie na końcu te wartości oczekiwane dodamy.
Przy wartości oczekiwanej do kwadratu podniosłaś tylko licznik, jak podniesiesz jeszcze mianownik to będzie dobrze

[miecczybyc]

Zadanie rozwiązane! Dziękuję.