Witam dostałem dziś na zajęciach takie zadanie.
Wysokość walca o promieniu podstawy 1 jest zmienną losową X, której rozkład ma następującą dystrybuantę
F(x)=\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 dla x \le 1 \\ \frac{1}{4} dla x \in (1,2> \\ 1 dla x > 2 \end{cases}}\)
Obliczyć przeciętną objętość walca.
W jaki sposób obliczyć tą przeciętną objętość? Jest na to jakiś wzór, czy może to się wyznacza w specjalny sposób, a może to jest takie proste ale ja jestem zbyt głupi do tego zadania?
Obliczanie przeciętnej objętości walca
-
kicaj
Obliczanie przeciętnej objętości walca
\(\displaystyle{ V=\pi r^2 X =\pi X}\)
Zatem średnia objętość walca wynosi
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (V) =\pi \mathbb{E} (X) =\pi\int_{-\infty}^{\infty} x dF(x) =\pi\left( 1\cdot \left(\frac{1}{4} -0\right) + 2 \cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\right) =\frac{7}{4} \pi}\)
Zatem średnia objętość walca wynosi
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (V) =\pi \mathbb{E} (X) =\pi\int_{-\infty}^{\infty} x dF(x) =\pi\left( 1\cdot \left(\frac{1}{4} -0\right) + 2 \cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\right) =\frac{7}{4} \pi}\)