Prawdopodobieństwo wylosowania liczby mniejszej

[strefa61]

Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,...,n\right\},n \in N_{+} \wedge n \ge 2}\) losujemy kolejno dwa razy jednąliczbę ze zwracaniem. Prawdopodobieństwo otrzymania za pierwszym razem liczby większej niż za drugim jest równe \(\displaystyle{ \frac{7}{16}}\). Oblicz n.
Ja to widzę tak:
\(\displaystyle{ n^2}\) wszystkich możliwości. Teraz ile jest kombinacji na wylosowanie za drugim razem liczby mniejszej:
dla \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ n-1}\) możliwości
dla\(\displaystyle{ n-1}\) mamy \(\displaystyle{ n-2}\) możliwości itd.
czyli mamy ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(\displaystyle{ -1}\)
Liczymy sumę ciągu:
\(\displaystyle{ S_n=\frac{n-1+0}{2}\cdot(n-1)=\frac{(n-1)^2}{2}}\)
Teraz podstawiam:
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)^2}{2n^2}=\frac{7}{16}}\) no i nie ma żadnego sensownego rozwiązania bo n jest naturalne dodatnie, gdzie tutaj jest błąd?

[Medea 2]

Zamień jedno \(\displaystyle{ n-1}\) na \(\displaystyle{ n}\), wtedy dostaniesz \(\displaystyle{ (n-1)/(2n) = 7/16}\), czyli \(\displaystyle{ n = 8}\).

[Zahion]

\(\displaystyle{ (n-1) + (n-2) + ... + 1 = \frac{n^{2} -n}{2} \neq \frac{(n-1)^{2}}{2}}\)

[szachimat]

dla n mamy n-1 możliwości
dla n-1 mamy n-2 możliwości itd.
...
dla 2 mamy 1 możliwość (2;1)

Czyli twoja suma ma mieć w liczniku zamiast 0 wartość 1

[Zahion]

Poza tym moc zbioru, który szukasz, to po prostu dwuelementowe kombinacje zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego \(\displaystyle{ {n \choose 2} = ...}\)

[strefa61]

rany, no co prawda to prawda, dzięki wielkie

[szachimat]

A z tym to się nie zgadzam, bo mamy tutaj istotną kolejność (elementy nawet mogą się powtarzać, a w kombinacjach nie)

[Zahion]

Co ma Pan na myśli ? Jakie elementy się powtórzą ?

[Medea 2]

Możemy to załatwić tak: wybieramy dwie kule byle jak, po czym tę mniejszą losujemy za drugim razem.

[Zahion]

Możliwych \(\displaystyle{ 2}\)-elementowych kombinacji \(\displaystyle{ n}\)- elementowego zbioru jest tyle ile wyżej napisałem. Dwuelementowe zbiory można zapisać za pomocą postaci \(\displaystyle{ \left\{i,j \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le i < j \le n}\), czyli to, czego potrzebujemy w tym zadaniu. Przykładowo dla \(\displaystyle{ n = 3}\), mamy \(\displaystyle{ \left\{1,3 \right\},\left\{2,3 \right\},\left\{1,2 \right\}}\)

[szachimat]

Zwracam honor. Coś mnie zaślepiło. W zdaniu "moc zbioru, który szukasz" błędnie dopatrzyłem się "całego zbioru" (omegi) i za szybko napisałem to co napisałem. No cóż - każdy może być omylny, tylko nie każdy umie się do tego przyznać. Przepraszam, miał Pan rację panie Zahion.

[VirtualUser]

Nie bardzo rozumiem, skąd mam pewność, że w zapisie \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) zawieram możliwość tego, że pierwsza liczba jest większa od drugiej?-- 21 gru 2017, o 23:47 --podbijam