Splot dyskretny

[myszka9]

Wybieramy losowe 2\(\displaystyle{ }\) (niekoniecznie różne) liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{1, \cdots , m\}}\). Oblicz średnią odległość pomiędzy nimi.

POMYSŁ NA ROZWIĄZANIE :
\(\displaystyle{ X, Y}\) - niezależne zmienne losowe, \(\displaystyle{ X}\) losuje \(\displaystyle{ 1}\) liczbę, \(\displaystyle{ Y}\) liczbę drugą
\(\displaystyle{ P(X=k)=P(Y=k) = \frac{1}{m}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \{1, \cdots, m\}}\)
\(\displaystyle{ U=|X-Y|}\)

Czy w zadaniu jeśli policzę \(\displaystyle{ \EE U}\) to będzie ok?-- 3 lut 2015, o 01:21 --tylko jak to zrobić?

[bartek118]

Zgadza się. Zastosuj splot:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X+Y = n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathbb{P}(X=k) \cdot \mathbb{P} (Y=n-k)}\)
Oczywiście musisz uwzględnić to, że masz minus (drobne modyfikacje) i wartość bezwzględną.

[myszka9]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(|X-Y| = n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathbb{P}(X=k) \cdot \mathbb{P} (Y=|n+k|)}\) ?

[bartek118]

Nie....

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(|X-Y| = n) = \mathbb{P}(X-Y = n) + \mathbb{P}(X-Y = -n) = \ldots}\)

[myszka9]

No ok, racja. Głupie małpowanie z mojej strony.
Teraz rozpisujemy to :

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(|X-Y| = n) = \mathbb{P}(X-Y = n) + \mathbb{P}(X-Y = -n) \\ = \sum_{k=1}^m \mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y=k-n) + \sum_{k=1}^m \mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y=k+n) = \\ \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m \mathbb{P}(Y=k-n) + \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k+n) \\ = \frac{1}{m} \left(\sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k-n) + \sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k+n) \right) \\ = \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m \left( \mathbb{P} (Y=k-n) + \mathbb{P} (Y=k+n) \right)}\)

Teraz to chyba trzeba rozpisać na przypadki? kiedy \(\displaystyle{ k-n \in \{1, \cdots, m\}}\) i kiedy \(\displaystyle{ k+n \in \{1, \cdots, m\}}\) ?

[Adifek]

To zadanie można zrobić na palcach, bez używania splotu

[myszka9]

W jaki sposób?
A jeśli splotem, czy moje rozpisanie jest w porządku i co powinnam zrobić dalej?

[bartek118]

Oczywiście, że można "na palcach" Jednak w temacie pojawiło się słowo "splot", więc uznałem, że o to właśnie chodzi

Docieramy do tego momentu:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(|X-Y| = n) = \mathbb{P}(X-Y = n) + \mathbb{P}(X-Y = -n) \\ = \sum_{k=1}^m \mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y=k-n) + \sum_{k=1}^m \mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y=k+n) = \\ \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m \mathbb{P}(Y=k-n) + \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k+n) \\ = \frac{1}{m} \left(\sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k-n) + \sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k+n) \right)}\)
I teraz
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k-n)}\)
\(\displaystyle{ k-n \leq m}\), czyli \(\displaystyle{ k \leq n+m}\) (oczywiście liczymy dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\), zatem górna granica sumowania jest OK. Z dołu zaś \(\displaystyle{ k-n \geq 1}\), czyli \(\displaystyle{ k \geq n+1}\), zatem
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k-n) = \sum_{k=n+1}^m \mathbb{P} (Y=k-n)}\)
Analogicznie ograniczasz drugą sumę.

[myszka9]

W zadaniu nie pisało jak trzeba rozwiązać, po prostu inaczej nie umiałam i wydało mi się to najprostszym sposobem - z chęcią zobaczę jak męski umysł podchodzi do problemu .

Dlaczego od \(\displaystyle{ n \ge 2}\) ?

\(\displaystyle{ 1 \le k+n \le m \\
1-n \le k \le m-n}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{m-n}}\) ?

[bartek118]

Przepraszam, źle spojrzałem, \(\displaystyle{ n \geq 0}\) i \(\displaystyle{ n \leq m-1}\)

[myszka9]

Ok, że \(\displaystyle{ n \le m-1}\), to rozumiem, ale dlaczego ma być \(\displaystyle{ \ge 2}\)? przecież odległość pomiędzy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) może być \(\displaystyle{ 0}\) nawet.

Czy później powinno być :
\(\displaystyle{ \frac{1}{m} \left(\sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k-n) + \sum_{k=1}^m \mathbb{P} (Y=k+n) \right) \\= \frac{1}{m} \left(\sum_{k=n+1}^m \mathbb{P} (Y=k-n) + \sum_{k=1}^{m-n} \mathbb{P} (Y=k+n) \right) \\ = \frac{1}{m} (\frac{1}{m}(m-n) + \frac{1}{m}(m-n))}\) ?