funkcja charakterystyczna

[Last]

Witam !
czy mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze myślę, ewentualnie coś jeszcze podpowiedzieć jeśli źle rozumuje.
Otóż chcę znaleźć rozkład funkcji za pomocą funkcji charakterystycznej. A wygląda ona tak:
\(\displaystyle{ \phi_{X} \left( t \right) =\frac {1}{4}+\frac {3}{4} e^{-2it}}\). Podejrzewam, że tu będzie rozkład dwupunktowy który wygląda następująco
\(\displaystyle{ P \left( X=\frac {1}{4} \right) =-x}\) oraz \(\displaystyle{ P \left( X=\frac {3}{4} \right) =-2-x}\). I właśnie nie wiem czy dobrze zdefiniowałem ten rozkład. Mógłby ktoś rzucić okiem ?

[Marcin_92]

Źle.
\(\displaystyle{ P \left( X=0 \right) =\frac {1}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ P \left( X=-2 \right) =\frac {3}{4}}\)

[Last]

no właśnie troszkę się wgłębiłem w temat i już miałem poprawiać A dalej mam inną funkcję charakterystyczną tj \(\displaystyle{ \phi_{Y}(t) = \frac {1}{2} e^{-it} + \frac {1}{4}e^{it}+ \frac{1}{4} e^{2it}}\). Wiem już, że \(\displaystyle{ P(Y=-1)=\frac {1}{2}, \ P(Y=1)=P(Y=2)= \frac {1}{4}}\). Zatem jak wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ Z=XY}\) ?

Z tego co mi się wydaje mamy tak
\(\displaystyle{ P(X=0)=\frac{1}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ P(X=-2)= \frac{3}{4}}\) i \(\displaystyle{ P(Y=-1)=\frac {1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ P(Y=1)=P(Y=2)=\frac {1}{4}}\)
Jeśli dobrze liczę to:
\(\displaystyle{ P_{Z}(z)=P(Z<z)=P(XY<z)=\\
P(Y<z)P(X=0)+P(Y<z)P(X=-2)=\frac {1}{4}P(0*Y<Z)+\frac {3}{4}P(-2*Y<z)}\)
i jak dalej ruszyć ? bo mnie zaćmiło ;/