Obliczenie prawdopodobienstwa

[szukampomocy90]

Mam zadanie za które nie wiem jak się zabrać. Mógłbym mi ktoś w poszczególnych krokach wyjaśnić jak je rozwiązać? Oto treść:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ X_{1},...,X_{n}}\) i \(\displaystyle{ Y_{1},...,Y_{m}}\) są dwiema niezależnymi próbkami z tego samego rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N \left( \mu, \sigma^{2} \right)}\). Niech \(\displaystyle{ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\) oraz \(\displaystyle{ \bar{Y} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} Y_{i}}\). Obliczyć: \(\displaystyle{ P\left( \left|\bar{X}-\mu \right| > \left| \bar{Y}-\mu \right| \right)}\) dla \(\displaystyle{ n=100}\) i \(\displaystyle{ m=385}\).
Wiem, że odp powinna wyjść \(\displaystyle{ 0,7}\).-- 31 sty 2015, o 00:41 --nikt, nic?

[ziomalok19]

ktoś potrafi chociaż zacząć?

[fafner]

Pewnie da się łatwiej, ale ja robię to tak:

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ U = \overline{X}- \mu \frac{\sqrt{n}}{\sigma} \simeq N(0,1)}\)
\(\displaystyle{ V = \overline{Y}- \mu \frac{\sqrt{m}}{\sigma} \simeq N(0,1)}\)
\(\displaystyle{ P(\frac{|U|\sigma}{\sqrt{n}}>\frac{|V|\sigma}{\sqrt{m}})=&P(\frac{U^2}{n}>\frac{V^2}{m})=
P(\frac{U^2}{V^2}>\frac{100}{385})}\)

\(\displaystyle{ U^2}\) oraz \(\displaystyle{ V^2}\) mają rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{X}^2(1)}\), a \(\displaystyle{ \frac{U^2}{V^2}}\) ma rozkład F snedecora o \(\displaystyle{ (1,1)}\) stopniach swobody. Problem polega na tym, że nie ma za bardzo tablic F snedecora z których byśmy mogli odczytać to prawdopodobieństwo(chyba, że rozkład \(\displaystyle{ F(1,1)}\) ma rozkład jakiś bardziej znany którego wartości da się odczytać, ale wątpię)

Proponuję przekształcenie:
\(\displaystyle{ P(U^2>V^2 \frac{100}{385})}\)
\(\displaystyle{ f_{U^2}(x)=f_{V^2}(x)=\frac{1}{4}xe^{-\frac{1}{2}x}}\)

I policzyć to jako zwykłą całkę podwójną, nie wiem jak prościej to zrobić...

[szukampomocy90]

Bardzo dziękuję za pomoc

[fafner]

Znalazłem rozwiązanie, to zadanie było na egzaminie aktuarialnym:

Kod: Zaznacz cały

http://www.aktuariusze.net.pl/documents/exam/_2002.06.15_%20_prawdopodobie%20%20stwo_i_statystyka.pdf

Nie wygląda na prostsze