błądzenie losowe gracz

[cos_son89]

Gracz z kapitałem początkowym 4zl gra do momentu bankructwa lub do uzbierania
(albo też przeskoczenia) sumy N = 8. W każdej grze gracz nie zmienia swego posiadania z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p=\frac{2}{5}}\)
wygrywa 4 z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ q=\frac{1}{5}}\)
i przegrywa 2 z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ r=\frac{2}{5}}\)
Oblicz prawdopodobieństwo, że gracz zbankrutuje

W-zdarzenie że gracz zbankrutuje
k=4
warunkujemy ze względu na pierwszy krok i otzrymujemy równanie różnicowe
\(\displaystyle{ p_{k}=p_{k+4} \frac{1}{5}+p_{k-2} \frac{2}{5}+p_{k} \frac{2}{5}}\)
co możemy zapisać
\(\displaystyle{ p_{k}=p_{k+2} \frac{1}{5}+p_{k-1} \frac{2}{5}+p_{k} \frac{2}{5}}\)

\(\displaystyle{ p_{k+2} \frac{1}{5}-p_{k} \frac{3}{5}+p_{k-1} \frac{2}{5}=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda^{3} \frac{1}{5} -\lambda \frac{3}{5}+ \frac{2}{5}=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda^{3} -3\lambda+ 2=0}\)

\(\displaystyle{ (\lambda^{2}+\lambda- 2)(\lambda -1)=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1}=1 , \lambda_{2}=-2 , \lambda_{3}=1}\)
i mam problem z rozwiązaniem tego równania rożnicowego..

bo pierwoastek 1 jest dwukrotny.. zatem

\(\displaystyle{ p_{k}=C_{1}k1^{k} + C_{2}(-2)^{k}}\)?

[Gouranga]

Nie widzę sensu robienia tego tak okrężną drogą.
Gracz z punktu gdzie ma 4 albo bankrutuje, albo wygrywa albo przechodzi dalej na ten sam stan
może zbankrutować z pierwszym kroku z \(\displaystyle{ P = \frac{1}{5}}\)
może w 2 kroku z \(\displaystyle{ P = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5}}\)
w trzecim z \(\displaystyle{ P = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5}}\)
i tak dalej, stąd mamy:
\(\displaystyle{ P = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{5} \left(\frac{2}{5}\right)^i = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{2}{5}}}\)

[Everard]

Gouranga, niestety Twoje rozwiązanie jest niepoprawne. Niemożliwe jest by gracz zbankrutował w pierwszym kroku, bo stracić może co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) - może wygrać \(\displaystyle{ 8}\) i tym samym zakończyć grę, ale nie zmienia to faktu że prawdopodobieństwo bankructwa wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Dodatkowo w następnych krokach sprawy się mocno komplikują bo musisz uwzględnić przypadek gdy nasz kapitał się nie zmienił, gdy się zmniejszył lub gdy się zwiększył. Próba rozpisania tego dokładnie doprowadziłaby Cię do równania różnicowego podanego przez cos_son89.

Rozumowanie cos_son89 jest (prawie) poprawne. Dla lekkiego ujednolicenia znaczeń symboli, podzielmy wszystko przez \(\displaystyle{ 2}\) - czyli zaczynamy z \(\displaystyle{ 2}\) zł, gramy do uzbierania \(\displaystyle{ 4}\) lub bankructwa, za każdym razem wygrywamy \(\displaystyle{ 2}\), zostajemy tacy sami albo tracimy \(\displaystyle{ 1}\). Ta sytuacja prowadzi nas do Twojego drugiego równania różnicowego. Ponieważ \(\displaystyle{ 1}\), jak zauważyłaś, jest pierwiastkiem dwukrotnym, rozwiązanie ogólne jest postaci
\(\displaystyle{ p_k=C_1+C_2k+C_3(-2)^k.}\)
Nasze warunki początkowe to
\(\displaystyle{ p_0=1, p_4=0,p_5=0}\)
skąd otrzymujemy
\(\displaystyle{ C_1+C_2+C_3=1,}\)
\(\displaystyle{ C_1+4C_2+16C_3=0,}\)
\(\displaystyle{ C_1+5C_2-32C_3=0.}\)
Zatem \(\displaystyle{ C_2=48C_3, C_1=-208C_3,}\) więc \(\displaystyle{ C_3=-\frac{1}{159}, C_2=-\frac{48}{159}, C_1=\frac{208}{159},}\)
skąd
\(\displaystyle{ p_2=\frac{208}{159}-\frac{96}{159}-\frac4{159}=\frac{108}{159}=\frac{36}{53}.}\)

[Gouranga]

przepraszam, źle przeczytałem i myślałem że wygrywa 4 albo przegrywa 4

[Patrycja0123]

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć, skąd się wzięły takie warunki początkowe?
Pozdrawiam.