Słabe prawo wielkich liczb

[manonim]

Niech \(\displaystyle{ (X_n)_{n \ge 1}}\) będzie ciągiem całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych, w którym każda zmienna \(\displaystyle{ X_n}\) ma wariancję ograniczoną przez tą samą stałą \(\displaystyle{ c}\) oraz może zależeć jedynie od zmiennych \(\displaystyle{ X_{n-1}}\) i \(\displaystyle{ X_{n+1}}\) (oraz od samej siebie). Udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ (X_n)_{n \ge 1}}\) spełnia słabe prawo wielkich liczb.

ROZWIĄZANIE.
No więc tak :
sprawdzamy sobie założenia : są całkowalne z kwadratem TAK
1) są parami nieskorelowane?
2) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^n D^2X_k = 0}\) ?

Ad1) TUTAJ MAM PROBLEM
\(\displaystyle{ j \neq i}\)
\(\displaystyle{ Cov(X_i, X_j) = 0}\) gdy mamy \(\displaystyle{ i=n}\), a \(\displaystyle{ j \notin \{n-1,n+1\}}\)

Ad2)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^n (\EE X_k^2-(\EE X_k)^2) \le \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^n \EE X_k - nc^2 \le \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^n \EE X_k^2 \to 0}\)

\(\displaystyle{ nc^2>0}\)

uzasadnienie granicy :
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} \to 0}\), \(\displaystyle{ \EE X_k^2}\)
jest ograniczone(całkowalne z kwadratem)

[Adifek]

Mówimy, że ciąg \(\displaystyle{ (X_n)}\) spełnia SPWL jeśli

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i -\mathbb{E}X_i ) \to 0}\) według \(\displaystyle{ P}\).

To co napisałaś wyżej jest bez sensu. Niby jak chciałaś pokazać nieskorelowanie skorelowanych zmiennych? Poza tym \(\displaystyle{ Cov(X_i,X_i) = Var X_i}\) Szacowania także masz od czapy i nieprawdziwe. No i jak wyżej napisałem - nie masz sprawdzać założeń twierdzenia, bo te spełnione nie są.

[manonim]

Co jest nie tak z szacowaniem? Jedyne co teraz widzę, to że zapomniałam podzielić drugi element różnicy przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\), ale to nic nie zmienia, no i że w sumie to nic nie mówi o granicy, tylko o górnym oszacowaniu .

[Adifek]

Co jest nie tak z szacowaniem?

Wszystko. Obie nierówności są nieprawdziwe i nie masz też zbieżności sumy drugich momentów, więc zbieżność też jest zła.

[manonim]

Ah, każda WARIANCJA jest ograniczona, nie WARTOŚĆ OCZEKIWANA - to zmienia postać rzeczy .