Wartość oczekiwana odległości od środka tarczy

[matfka]

Punkty \(\displaystyle{ (X,Y)}\) trafienia do tarczy o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) mają dwuwymiarowy rozkład normalny \(\displaystyle{ N _{2}(0,I)}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to macierz jednostkowa. Obliczyć wartoś oczekiwaną odległości od środka tarczy najlepszego z \(\displaystyle{ n}\) niezależnych strzałów

[Adifek]

1. Sposób (trzeba coś wiedzieć):
Zauważamy, że zmienne \(\displaystyle{ X, \ Y}\) są niezależne o rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Stąd \(\displaystyle{ X^2 +Y^2}\) (kwadrat odległości) ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^2 (2)}\) (chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody). Nasze zadanie redukuje się zatem do znalezienia rozkładu \(\displaystyle{ \min (\sqrt{Z_1}, ... , \sqrt{Z_n})}\), gdzie są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie \(\displaystyle{ \chi^2 (2)}\). Tym samym zmienne \(\displaystyle{ \sqrt{Z_i}}\) mają rozkład \(\displaystyle{ \chi(2)}\) (chi z dwoma stopniami swobody).

2. Sposób (sprytny):
Przechodzimy na współrzędne biegunowe. Niech \(\displaystyle{ X = R \cos \Theta}\) oraz \(\displaystyle{ Y = R \sin \Theta}\) dla niezależnych zmiennych \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ \Theta}\). Interesuje nas wówczas rozkład \(\displaystyle{ R}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \mu_A}\) rozkład zmiennej \(\displaystyle{ A\in \left\{ X,Y,R,\Theta \right\}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \Theta}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0, 2\pi )}\). Ponieważ zmienne są niezależne, to ich łączna gęstość wygląda tak: \(\displaystyle{ f(\theta , r) = \frac{1}{2\pi} g(r)}\), gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest gęstością \(\displaystyle{ R}\) względem miary Lebesgue'a na \(\displaystyle{ (0,\infty )}\).

Mamy, że:

\(\displaystyle{ P(R<t) = P(\sqrt{X^2+Y^2}<t) =\iint_{\left\{ x^2 + y^2 <t^2 \right\} } d\mu_X (x) d\mu_Y(y) = \iint_{\left\{ x^2 + y^2 <t^2 \right\} } \frac{e^{-(x^2+y^2) \slash 2}}{2\pi} dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^t \frac{e^{-r^2 \slash 2}}{2\pi}r dr = \int_0^t re^{-r^2 \slash 2} dr}\)

Dostajemy tym samym

\(\displaystyle{ \int_0^t re^{-r^2 \slash 2} dr = \int_0^tg(r) dr}\)

a stąd \(\displaystyle{ g(r) = re^{-r^2 \slash 2}}\) (czyli dokładnie rozkład \(\displaystyle{ \chi (2)}\))

Teraz liczysz rozkład minimum zmiennych z rozkładu \(\displaystyle{ R}\).