Nierówność Czebyszewa, zmienne losowe

[105517]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

1.Ile razy należy rzucić monetą, aby częstość wyrzucenia orła różniła się od p = 0, 5 nie więcej niż 0,01 z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,95? Wykorzystać nierówność Czebyszewa.

2.Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że E(X) = 1, E(Y ) = 3,
Var(X) = V ar(Y ) = σ ^2
Dla jakiej stałej c statystyka \(\displaystyle{ cX ^{2} + (1 - c)Y ^{2}}\) jest nieobciążonym estymatorem parametru σ ^2 ?


Dzięki

[Everard]

1:

Jeśli dobrze matematykuję, biorąc \(\displaystyle{ X_i}\) niezależne zmienne losowe przyjmujące wartości \(\displaystyle{ 0}\) (reszka) i \(\displaystyle{ 1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac12}\) i \(\displaystyle{ S_n=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i}\), chcemy aby
\(\displaystyle{ P(|S_n-\frac 12|\le 0.01)\ge 0.95}\).
Nierówność Czebyszewa mówi, że
\(\displaystyle{ P(|S_n-\frac 12|\ge k\sigma)\le \frac1{k^2},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \sigma^2=\frac 1{4n},}\) bo \(\displaystyle{ D^2(X_i)=\frac14}\).

Stąd dostajemy, biorąc \(\displaystyle{ k=\frac{0.01}{\sigma}=0.02\sqrt{n}}\),
\(\displaystyle{ P(|S_n-\frac 12|\le 0.01)=1-P(|S_n-\frac 12|\ge k\sigma)\ge 1-\frac1{k^2}}\),
zatem żeby to było większe od \(\displaystyle{ 0.95}\) musi być
\(\displaystyle{ \frac1{k^2}\le 0.05}\)
\(\displaystyle{ k^2\ge 20}\)
\(\displaystyle{ 0.0004n\ge \sqrt{20}}\)
\(\displaystyle{ n\ge 2500\sqrt{20}}\)
\(\displaystyle{ n\ge 11200}\)

jeśli się nie machnąłem.

2: Chcemy, aby
\(\displaystyle{ E(cX^2+(1-c)Y^2)=\sigma^2}\)
Mamy
\(\displaystyle{ E(X^2)-(EX)^2=\sigma^2=E(Y^2)-(EY)^2,}\)
skąd
\(\displaystyle{ E(X^2)=\sigma^2+1, E(Y^2)=\sigma^2+9.}\)

Dalej już chyba policzysz?

[105517]

ok, dalej już dam rade dzięki

[spin2015]

a skad sie wzielo \(\displaystyle{ k^2\ge 20}\)

[Premislav]

Gdy a i b są liczbami dodatnimi, to \(\displaystyle{ a \le b \Leftrightarrow \frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}}\). Wynika to z podzielenia stronami przez \(\displaystyle{ ab}\).