\(\displaystyle{ P (A|B) = \frac{3}{4}}\) ; \(\displaystyle{ P (B|A) = \frac{1}{2}}\) ; \(\displaystyle{ P(A\B)= \frac{1}{4}}\).
Oblicz \(\displaystyle{ P(A \wedge B)}\) ; \(\displaystyle{ P(A \vee B)}\)
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Obliczenie prawdopodobieństwa
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Obliczenie prawdopodobieństwa
Masz z definicji
\(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\)
Stąd dostajemy
\(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac34,\quad \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac12,\quad P(A)=\frac14}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{ \frac{P(A\cap B)}{\frac14}=\frac12}\)
\(\displaystyle{ P(A\cap B)=\frac18}\)
Dalej możemy uzyskać
\(\displaystyle{ \frac{\frac18}{P(B)}=\frac34}\)
Po przekształceniu
\(\displaystyle{ P(B)=\frac16}\).
No i korzystasz ze wzoru
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac14+\frac16-\frac18=\frac{7}{24}}\)
\(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\)
Stąd dostajemy
\(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac34,\quad \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac12,\quad P(A)=\frac14}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{ \frac{P(A\cap B)}{\frac14}=\frac12}\)
\(\displaystyle{ P(A\cap B)=\frac18}\)
Dalej możemy uzyskać
\(\displaystyle{ \frac{\frac18}{P(B)}=\frac34}\)
Po przekształceniu
\(\displaystyle{ P(B)=\frac16}\).
No i korzystasz ze wzoru
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac14+\frac16-\frac18=\frac{7}{24}}\)