Symetryczny rozkład zm los, a f. char

[manonim]

Udowodnij, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład symetryczny wtw gdy jej f charakterystyczna przyjmuje wyłącznie wartości rzeczywiste.

ROZWIĄZANIE
Rozkład symetryczny - tz, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ -X}\) mają ten sam rozkład

Czy muszę udowadniać to dla \(\displaystyle{ 2}\) przypadków - ciągłego i dyskretnego? Czy istnieje sposób zapisania tego uniwersalnie?

Przychodzi mi do głowy np zacząć od funkcji charakterystycznej :
\(\displaystyle{ \Psi_X (t) = \EE e^{itx} = \EE (\cos tx + i \sin tx) = \EE \cos tx + i\EE \sin tx}\)
no i uzasadnić, że \(\displaystyle{ \cos x}\) jest funkcją parzystą, a \(\displaystyle{ \sin x}\) nie.

[bartek118]

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ -X}\) mają te same funkcje charakterystyczne (gdyż mają te same rozkłady), oznacza to, że
\(\displaystyle{ \Psi_X (t) = \Psi_{-X} (t) = \Psi_X (-t)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \EE \cos tx + i\EE \sin tx = \EE \cos (-tx) + i\EE (\sin - tx) = \EE \cos tx - i\EE \sin tx}\)
Stąd
\(\displaystyle{ 2i\EE \sin tx = 0}\)
Czyli \(\displaystyle{ \EE \sin tx = 0}\). Stąd
\(\displaystyle{ \Psi_X (t) = \EE \cos tx \in \mathbb{R}.}\)