Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda =1}\). Za pomocą funkcji charakterystycznych wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z=X-Y}\).
ROZWIĄZANIE.
\(\displaystyle{ \Psi_{X-Y}(t)=\EE e^{it(X-Y)} = \EE e^{itX}e^{it(-Y)}= \EE e^{itX} \EE e^{i(-t)Y}= \Psi_X(t)\cdot \Psi_Y(-t)}\)
Czy to jest :
\(\displaystyle{ \Psi_X(t)= \frac{-1}{it-1} \\
\Psi_Y(-t)= \frac{1}{it+1} \\
\Psi_{X-Y}(t)=\frac{-1}{1-t^2}}\)
?