Zbieznośc według rozkładu

[leszczu450]

Cześć !

\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie:

\(\displaystyle{ P(X_i=-1)= \frac{3}{4} \\ P(X_i=1) = \frac{1}{4}}\)

Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu:

\(\displaystyle{ Y_n= \frac{ \sum_{i=1}^{n} \left( X_{i}^2 -1\right) }{ \sqrt{6n} }}\)

Określam:
\(\displaystyle{ Z_1= X_{1}^2 -1 \\ Z_2= X_{2}^2 -1 \\ \vdots \\ Z_n= X_{n}^2 -1}\)

\(\displaystyle{ Z_1, Z_2 , \ldots}\) to ciąg niezaleznych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Policzę teraz \(\displaystyle{ EZ_1 , Var Z_1}\).

\(\displaystyle{ EZ_1= E\left( X_{1}^2 -1\right)= EX_{1}^2 -1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} -1 =0 < + \infty}\)

\(\displaystyle{ Var Z_1 = Var \left( X_{1}^2-1\right)= Var X_{1}^2 = 0}\), bo

\(\displaystyle{ Var X_{1}^2= EX_{1}^4 - \left( EX_{1}^2\right) ^2= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \right)^2=0}\)

A tutaj wariancja musi wyjść większa od zera, żebym mógł ją wstawić do mianowika. Czy coś liczę źle ?

[Zordon]

\(\displaystyle{ X_i^2=1}\) prawie na pewno
\(\displaystyle{ Y_n=0}\) prawie na pewno

[leszczu450]

Zordon, ? A nie chodzi tutaj o policzenie tego z CTG ?

[frej]

Ale po co to liczyć z CTG?
Jeśli zmienne są stałymi, to ich granicą p.n. będzie ta sama stała. Zbieżność p.n. implikuje zbieżność rozkładów.