CTG i słaba zbieżnośc ciągu

[leszczu450]

Cześć !

\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ X_i \sim \mathcal{N}(i,4)}\). Zbadać słabą zbieżnośc ciągu:

\(\displaystyle{ Y_n= \frac{ \sum_{i=1}^{n} X_i}{ \sqrt{n} } - \frac{ \sqrt{n}(n+1) }{2}}\)

Moje rozwiązanie:

Z chęcią skorzystałbym z CTG, ale CTG mówi, że oprócz niezależności zmiennych losowych muszę mieć też taki sam rozkład każdej z nich. A u mnie tak nie ma. Istotnie:

\(\displaystyle{ X_1 \sim \mathcal{N}(1,4) \\ X_2 \sim \mathcal{N}(2,4) \\ \vdots \\ X_n \sim \mathcal{N}(n,4)}\)

Musze zatem ustandaryzować(tak to się mówi?) zmienne. Wówczas:

\(\displaystyle{ X_1 \sim \mathcal{N}(1,4) \Rightarrow Z_1= \frac{X_1-1}{4} \sim \mathcal{N}(0,1) \\ X_2 \sim \mathcal{N}(2,4) \Rightarrow Z_2= \frac{X_1-2}{4} \sim \mathcal{N}(0,1) \\ \vdots \\ X_n \sim \mathcal{N}(n,4) \Rightarrow Z_n= \frac{X_1-n}{4} \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

Teraz sprawdzam założenia z CTG:

\(\displaystyle{ EZ_1 = E\left( \frac{X_1-1}{4} \right)= \frac{1}{4}\left( EX_1-1\right)= \frac{1}{4}\left( 0-1\right) = - \frac{1}{4} < + \infty}\)

\(\displaystyle{ Var Z_1= Var\left( \frac{X_1-1}{4} \right)= \frac{1}{16}Var\left( X_1-1\right)= \frac{1}{16}\left( Var X_1 + Var(-1)\right)= \frac{1}{16} < + \infty}\)

Zatem założenia są spełnione. Wówczas:

\(\displaystyle{ \frac{Z_1 + Z_2 + \ldots + Z_n - \frac{n}{4} }{ \sqrt{ \frac{n}{16} } } \rightarrow Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

W takim razie:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{X_1-1}{4} + \frac{X_2-2}{4} + \ldots + \frac{X_n-n}{4} - \frac{n}{4} }{ \frac{ \sqrt{n} }{4} } \rightarrow Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{4}\left( X_1 - 1 + X_2 -2 + \ldtos + X_n -n\right) - \frac{n}{4} }{ \frac{ \sqrt{n} }{4} } \to Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left( X_1 + X_2 + \ldots + X_n\right) - \left( 1+2+ \ldots +n\right) - n }{ \sqrt{n} } \to Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X_i}{ \sqrt{n} } - \frac{1+2+ \ldots + n}{ \sqrt{n} } - \frac{n}{ \sqrt{n} } \to Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X_i}{ \sqrt{n} } - \frac{1+2+ \ldots + n-1}{ \sqrt{n} } \to Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X_i}{ \sqrt{n} } - \frac{ \frac{n(n-1)}{2} }{ \sqrt{n} } \to Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X_i}{ \sqrt{n} } - \frac{ \sqrt{n} (n-1)}{2} } \to Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

No i niepokoj mnie znak w nawiasie. Wszystko się zgadza poza tym. Gdzieś robię błąd ?

[Everard]

Twoje rozumowanie jest w pełni poprawne, tylko w początkowym wyrażeniu
\(\displaystyle{ \frac{Z_1 + Z_2 + \ldots + Z_n - \frac{n}{4} }{ \sqrt{ \frac{n}{16} } } \rightarrow Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)
powinno być
\(\displaystyle{ \frac{Z_1 + Z_2 + \ldots + Z_n }{ \sqrt{ n } } \rightarrow Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)
(nie musisz odejmować tego \(\displaystyle{ \frac n4}\), ten czynnik zawiera się w Twojej definicji \(\displaystyle{ Z_n}\)! No i Twoja wariancja to \(\displaystyle{ 1}\)).

Troszeczkę źle zrozumiałeś jak działają \(\displaystyle{ Z_n}\)y - skoro mają rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\), to za darmo dostajesz że ich wartość oczekiwana to \(\displaystyle{ 0}\) a wariancja to \(\displaystyle{ 1}\)! Stąd również Twoje przeliczenia "w środku" są niepoprawne - dzielić powinieneś przez \(\displaystyle{ 2}\) (pierwiastek z wariancji).

[leszczu450]

Everard, ozcywiście masz rację. Głupoty napisałem. W takim razie:

\(\displaystyle{ EZ_1 =0< + \infty \\ Var Z_1 = 1 < + \infty}\)

Zatem:


\(\displaystyle{ \frac{Z_1 + Z_2 + \ldots + Z_n }{ \sqrt{ n } } \rightarrow Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{X_1-1}{4} + \frac{X_2-2}{4} + \ldots + \frac{X_n-n}{4} }{\sqrt{n} } \rightarrow Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \frac{\left( X_1 + X_2 + \ldots + X_n\right) - \left( 1+2+\ldots + n\right) }{ \sqrt{n} } \rightarrow Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\left[ \frac{ \sum_{i=1}^{n}X_i }{ \sqrt{n} } - \frac{ \sqrt{n}\left( n+1\right) }{2} \right] \rightarrow Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \left[ \frac{ \sum_{i=1}^{n}X_i }{ \sqrt{n} } - \frac{ \sqrt{n}\left( n+1\right) }{2} \right] \rightarrow 4Z \sim \mathcal{N}(0,16)}\)

Teraz powinno być OK : ) Proszę o sprawdzenie.