Dla jakiej wartośći k funkcja jest funkcją gęstości

[damianosk]

Cześć,

mam taki oto przykład:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0 dla x<-2 \\ k( x^{3}+7x ^{2} +5x dla -2 \le x \le -1 \\ 0 dla x>-1\end{cases}}\)

parametr k wyszedł mi taki:
\(\displaystyle{ k= \frac{12}{61}}\)
czyli
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0 dla x<-2 \\ \frac{12}{61} ( x^{3}+7x ^{2} +5x dla -2 \le x \le -1 \\ 0 dla x>-1\end{cases}}\)

Dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 dla x<-2 \\ \frac{12}{244}x ^{4}+ \frac{84}{183}x ^{3}+ \frac{60}{122}x ^{2}- \frac{56}{61} dla -2 \le x \le -1 \\ 1 dla x>-1\end{cases}}\)

i teraz chciałbym z dystrybuanty obliczyć medianę, czyli przyrównuję do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
i tu zaczyna się problem, bo nie potrafię rozwiązać tego równania, kalkulator sobie nawet z tym nie radzi. Mógłby ktoś na to zerknąć czy chociaż jest dobrze zrobione? Bo nie mam też u kogo tego potwierdzić.


PS. jak zrobić spację przy słowie "dla" żeby zapis był bardziej czytelny?;)
Pozdrawiam

[Everard]

Cześć,

Jeśli chodzi o czytelne "dla", w Twoim przypadku wystarczy dać ampersand (&) przed "dla" (ze względu na składnię otoczenia cases). Ogólnie rzecz biorąc używaj polecenia mbox{ dla }.

Jeśli chodzi o samo zadanie. Mi \(\displaystyle{ k}\) wychodzi \(\displaystyle{ \frac{211}{12}}\), ale ewidentnie zapomniałeś nawiasu w definicji gęstości więc może ja ją rozumiem inaczej niż Ty - całe wyrażenie mnożysz przez \(\displaystyle{ k}\) czy tylko kawałek? Jak na to odpowiesz to możemy zobaczyć czy ta ostatnia nierówność się jakoś uprości.

[damianosk]

Dzięki za odpowiedz, a więc mnie uczono tak:

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{-1} k(x ^{3}+7x^2+5x) \mbox{d}x =1 \setminus :k}\)
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{-1} (x ^{3}+7x^2+5x) \mbox{d}x = \frac{61}{12}}\)
\(\displaystyle{ \frac{61}{12} = \frac{1}{k}}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{12}{61}}\)