Zbadaj słabą zbieżnośc ciągu

[leszczu450]

Cześć.

\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{E} \left( \lambda \right)}\). Zbadaj słabą zbieżność ciągu:

\(\displaystyle{ Y_n= \max\left\{e^{-\lambda X_1}, \ldots , e^{-\lambda X_n}} \right\}}\)

Moje rozwiązanie:

Obliczę dystrybuantę \(\displaystyle{ Y_n}\)


\(\displaystyle{ F_{Y_n} \left( t \right) = P \left( Y_n < t \right) = P \left( \max\left\{e^{-\lambda X_1}, \ldots , e^{-\lambda X_n}} \right\}<t \right) = \left[ P \left( e^{-\lambda X_1}<t \right) \right]^n= \left[ P \left( -\lambda X_1 < \ln t \right) \right]^n = \left[ P \left( X_1 > \frac{\ln t}{- \lambda} \right) \right]^n= \left[ 1-P \left( X_1 < \frac{\ln t}{- \lambda} \right) \right]^n = \left[ 1- F_{X_1} \left( \frac{\ln t}{- \lambda} \right) \right]^n= \left[ 1 - 1 + e^{- \lambda \frac{\ln t}{- \lambda} }\right]= t^n}\)

I te rachunki są dla \(\displaystyle{ t >1}\)

Dla \(\displaystyle{ t \le 1}\) dystrybuanta wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Zatem:

\(\displaystyle{ F_{Y_n} \left( t \right) = \begin{cases} 0 & t \le 1 \\ t^n & t>1 \end{cases}}\)

Idąc z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończności otrzymujemy:

\(\displaystyle{ F= \begin{cases} 0 & t \le 1 \\ + \infty & t>1 \end{cases}}\)

A to nie jest dystrybuantą żadnego rozkładu. Zatem ciąg \(\displaystyle{ Y_n}\) nie zbiega według rozkładu.

Czy dobrze wszystko tutaj policzyłem ?

[Spektralny]

Bardzo ładnie. Brakuje Ci \(\displaystyle{ n}\)-tej potęgi przed równością \(\displaystyle{ =t^n}\).

[leszczu450]

Spektralny, racja : ) Dzięki wielkie za odpowiedź. To może, póki tu jesteś, poproszę o sprawdzenie jeszcze jednego zadania. Takie samo polecenie. Zbadać słabą zbieżność ciągu \(\displaystyle{ Y_n}\).

\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{U} \left( -1,1 \right)}\).

\(\displaystyle{ Y_n= \min\left\{ e^{X_1}, e^{X_2}, \ldots, e^{X_n}\right\}}\)

Liczę dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ Y_n}\)

\(\displaystyle{ F_{Y_n} \left( t \right) = P \left( Y_n< t \right) =P \left( \min\left\{ e^{X_1}, e^{X_2}, \ldots, e^{X_n}\right\}<t \right) = 1 - P \left( \min\left\{ e^{X_1}, e^{X_2}, \ldots, e^{X_n}\right\} >t \right) =\\= 1- \left[ 1-P \left( X_1 < \ln t \right) \right]^n = 1 - \left[ 1-F_{X_1} \left( \ln t \right) \right]^n = \begin{cases} 0 & \ln t <-1 \\ \left( \frac{\ln t +1}{2} \right) ^n & \ln t \in \left[ -1,1\right] \\ 1 & \ln t > 1 \end{cases}=\\= \begin{cases} 0 & t < \frac{1}{e} \\ \left( \frac{\ln t +1}{2} \right) ^n & t \in \left[ \frac{1}{e},e \right] \\ 1 & t > e \end{cases}}\)

To były rozważania dla \(\displaystyle{ t > \frac{1}{e}}\). Dla \(\displaystyle{ t \le \frac{1}{e}}\) dystrybuanta równa jest \(\displaystyle{ 0}\). Zatem:

Przechodząc z \(\displaystyle{ n \to \infty}\) mamy, że:

\(\displaystyle{ F \left( t \right) = \begin{cases} 0 & t <e \\ 1 & t \ge e \end{cases}}\)

A to jest dystrybuante zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y \equiv e}\) zatem mamy słabą zbieżność \(\displaystyle{ Y_n \rightarrow Y}\).

Czy tutaj jest wszystko ok ?

[frej]

Przekształcenia są ok w pierwszym zadaniu, ale dla \(\displaystyle{ 0< t\le1}\), a nie dla \(\displaystyle{ t>1}\). Zmienne\(\displaystyle{ X_n}\) są nieujemne p.n., więc \(\displaystyle{ e^{-\lambda X_n}\le1}\), czyli
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t) = \begin{cases} 0 \text{ dla t} \le0 \\ t^n \text{ dla t} \in (0,1) \\ 1\text{ dla t} \ge1 \end{cases}}\)

[leszczu450]

frej, masz rację ! Musze bardziej uważać na te przedziały zmiennej \(\displaystyle{ t}\). A jak drugie zadanie ?

[frej]

Przede wszystkim wynik nie ma sensu. Zauważ, że jak wylosujesz dużo liczb z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\), to któraś z nich będzie blisko \(\displaystyle{ -1}\), więc \(\displaystyle{ Y_n \approx \frac{1}{e}}\) powinno zbiegać do \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\), a nie do \(\displaystyle{ e}\), jak Tobie wyszło.

Błędnie policzyłeś dystrybuantę rozkładu jednostajnego, tzn. błąd jest przy pierwszym pojawieniu się nawiasu klamrowego.

[leszczu450]

frej, nie widze tego błędu.

[frej]

\(\displaystyle{ F_{U(-1,1)}(t) = \frac{t-(-1)}{2}}\)
więc
\(\displaystyle{ 1-F_{X_1}(\ln t) = 1- \frac{\ln t +1}{2} = \frac{1\red-\b\ln t}{2}}\)

[leszczu450]

frej, racja. Powinno być zatem:

\(\displaystyle{ F_{Y_n} \left( t \right) = P \left( Y_n< t \right) =P \left( \min\left\{ e^{X_1}, e^{X_2}, \ldots, e^{X_n}\right\}<t \right) = 1 - P \left( \min\left\{ e^{X_1}, e^{X_2}, \ldots, e^{X_n}\right\} >t \right) =\\= 1- \left[ 1-P \left( X_1 < \ln t \right) \right]^n = 1 - \left[ 1-F_{X_1} \left( \ln t \right) \right]^n = \begin{cases} 0 & \ln t <-1 \\ 1- \left( \frac{1- \ln t}{2} \right)^n & \ln t \in \left[ -1,1\right] \\ 1 & \ln t > 1 \end{cases}=\begin{cases} 0 & t < \frac{1}{e} \\ 1- \left( \frac{1- \ln t}{2} \right)^n & t \in \left[ \frac{1}{e},e \right] \\ 1 & t>e \end{cases}}\)

Teraz jest chyba poprawnie wyznaczona : )

[frej]

Chyba jest ok.

[leszczu450]

frej, i teraz już widać, że to po środku zbiega do jedności, przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\) i tak jak mówisz mamy zbieżność \(\displaystyle{ Y_n}\) do \(\displaystyle{ Y=1/e}\). Nie rozumiem jednak Twojego komentarza odnośnie tego, dlaczego takiego wyniku mogliśmy się spodziewać. Szczerze mówiąc, brakuje mi tutaj takiej intuicji i zrozumienie większego. Będę wdzięczny jak napiszesz mi, o co mniej więcej chodzi w słabej zbieżności i dlaczego wynik \(\displaystyle{ e}\) od razu skreśliłeś z listy : )

[frej]

To dość proste. W tym zadaniu chodzi o to, że dużo razy, niezależnie, losujemy liczby z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\) w sposób jednostajny, czyli te punkty powinny "równomiernie" wypadać. Wobec tego kiedyś powinna wypaść jakaś mała liczba \(\displaystyle{ X\approx -1}\), więc od pewnego miejsca \(\displaystyle{ Y_n}\)( najmniejsza spośród wylosowanych liczb) powinna być blisko \(\displaystyle{ e^{-1}}\).


EDIT : Jest taka własność, że jeśli mamy zbieżność do stałej \(\displaystyle{ X_n \Rightarrow c}\), to też \(\displaystyle{ X_n \stackrel{P}{ \rightarrow } c}\).
A ogólnie prawdą jest, że zbieżność wg prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ X_n \stackrel{P}{ \rightarrow }X}\) implikuje zbieżność wg rozkładu \(\displaystyle{ X_n \Rightarrow X}\).

[leszczu450]

frej, super : ) Dzięki wielkie za wyjaśnienie! I kolejny przykład. Mam zbadać słabą zbieżnośc ciągu:

\(\displaystyle{ Y_n=n\min\left\{ X_1, X_2, \ldots , X_n\right\}}\) ,

gdzie \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{U}(0,1)}\).

Tak jak poprzednio liczę dystrybuantę \(\displaystyle{ Y_n}\). Niepokoi mnie ten \(\displaystyle{ n}\) stojący przed minimum, no ale liczę:

\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)= P(Y_n <t)=P\left(n\min\left\{ X_1, X_2, \ldots , X_n\right\}<t \right)= P\left(\min\left\{ X_1, X_2, \ldots , X_n\right\}< \frac{t}{n} \right)=1 - P\left(\min\left\{ X_1, X_2, \ldots , X_n\right\}> \frac{t}{n} \right)= 1- \left[ P(X_1 > \frac{t}{n} )\right]^n= 1- \left[ 1- P \left(X_1 < \frac{t}{n} \right)\right]^n=\\=1- \left[ 1- F_{X_1}\left( \frac{t}{n} \right) \right]^n= \begin{cases} 0 & \frac{t}{n}<0 \\ 1- \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n & \frac{t}{n} \in \left[ 0,1\right] \\ 1 & \frac{t}{n}>1 \end{cases}}\)

To są rozważania dla \(\displaystyle{ t>0}\), bo dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) dystrybuanta wynosi zero.

Problem mam z przejściem do granicy teraz. Co zrobić, gdy \(\displaystyle{ n \to \infty}\) ?

[bartek118]

Hint:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 & \frac{t}{n}<0 \\ 1- \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n & \frac{t}{n} \in \left[ 0,1\right] \\ 1 & \frac{t}{n}>1 \end{cases} = \begin{cases} 0 & t<0 \\ 1- \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n & t \in \left[ 0,n\right] \\ 1 & t>n \end{cases}}\)
Teraz mniej więcej widać granicę

[frej]

Musisz pokazać, że \(\displaystyle{ F_{Y_n}(t) \rightarrow F_Y(t)}\) w każdym punkcie ciągłości dystrybuanty zmiennej granicznej. Ustal więc jakąś liczbę dodatnią, w której chcesz zbadać tę zbieżność. Najprościej mówiąc musisz policzyć granicę pewnego ciągu \(\displaystyle{ a_n = F_{Y_n}(t)}\), który zależy od parametru \(\displaystyle{ t}\). Jak wiadomo, początkowe wyrazy tego ciągu nie mają znaczenia,więc można brać tylko "duże" \(\displaystyle{ n}\), tzn. tylko te, które są większe od \(\displaystyle{ t}\).