Zbadaj słabą zbieżnośc ciągu

[leszczu450]

bartek118, no ja tam tej granicy nie widzę nadal...

[frej]

Bartek w zasadzie przepisał to, co ty napisałeś.

Ogólnie \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} F_{Y_n}(t) \stackrel{\text{mój komentarz}}{=} \lim_{n\to \infty} \left( 1 - (1-\frac{t}{n})^n\right)}\)

A to jest standardowa granica, którą należy sprowadzić do \(\displaystyle{ e}\).

[leszczu450]

frej, to wiem:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} F_{Y_n}(t) \stackrel{\text{mój komentarz}}{=} \lim_{n\to \infty} \left( 1 - (1-\frac{t}{n})^n\right)= 1-e^{-t}}\)

Tyle, że nie wiem co zrobić z tymi przedziałami teraz.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 & \frac{t}{n}<0 \\ 1- \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n & \frac{t}{n} \in \left[ 0,1\right] \\ 1 & \frac{t}{n}>1 \end{cases} = \begin{cases} 0 & t<0 \\ 1- \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n & t \in \left[ 0,n\right] \\ 1 & t>n \end{cases}= \begin{cases} 0 & t<0 \\ 1-e^{-t} & t \ge 0 \end{cases}}\)

?

[frej]

A skąd niby ta druga równość? Przecież lewa strona dotyczy \(\displaystyle{ F_{Y_n}}}\), a prawa \(\displaystyle{ F_Y}\).

[leszczu450]

frej, zamiast równości powinna być strzałeczka, że zbiega \(\displaystyle{ \rightarrow}\) przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\). I wtedy rzeczywiście mamy do czynienia z dystrybuantą rozkładu wykładniczego z paramtrem \(\displaystyle{ \lambda=1}\). Czyli mamy słabą zbieżność : ) Teraz ok?

[frej]

Wynik jest dobry. Moim zdaniem pisanie tej strzałeczki jest zwyczajnie niepotrzebne. Zapis
\(\displaystyle{ \forall_{t\in \RR_{+}} F_{Y_n}(t) \stackrel{n\to \infty}{\rightarrow} F_Y(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ Y\sim \mathcal{E}(1)}\) jest wystarczający, jeśli koniecznie chcesz pisać jakieś strzałki.
Ja wolę napisać krócej \(\displaystyle{ Y_n \stackrel{D}{\rightarrow} \mathcal{E} (1)}\). Jest to jednak małe nadużycie, bowiem po lewej stronie masz zmienne losowe, a po prawej rozkład, ale wiadomo o co chodzi. Gdybyś chciał być zbyt dokładny, możesz zapisać\(\displaystyle{ \mu_{Y_n} \stackrel{sł}{\rightarrow} \mathcal{E}(1)}\).

[leszczu450]

frej, ok : ) Dzięki wielkie za pomoc! Wiele mnie to nauczyło : )

[frej]

Nie ma za co. Poprawiłem przed chwilą strzałki, teraz powinno być dobrze.