wyznacz funkcję charakterystyczną

[leszczu450]

Cześć !

Zmienne \(\displaystyle{ X_n, Y_n}\) są niezależna dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\). \(\displaystyle{ X_n \sim \mathcal{U} \left( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)}\), zaś \(\displaystyle{ Y_n}\) ma rozkład:

\(\displaystyle{ P \left( Y_n=1+ \frac{1}{n} \right) =P \left( Y_n=-1+ \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{2}}\)

Zmienna \(\displaystyle{ Z_n}\) określona jest wzorem \(\displaystyle{ Z_n=2X_n + Y_n}\)

Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej \(\displaystyle{ Z_n}\) i zbadaj słabą zbieżność.


Proszę o sprawdzenie, czy dobrze wyznaczyłem następujace rzeczy :

\(\displaystyle{ \varphi_{Y_n} \left( t \right) = Ee^{itY_n}= \frac{1}{2}e^{it \left( 1+ \frac{1}{n} \right) } + \frac{1}{2}e^{it \left( -1+ \frac{1}{n} \right) }= \frac{1}{2}e^{ \frac{it}{n} }\left( e^{it}+e^{-it}\right)}\)

\(\displaystyle{ \varphi_{2X_n} \left( t \right) = \varphi_{X_n} \left( 2t \right) = \frac{e^{i2t \frac{1}{n} } - e^{i2t\left( - \frac{1}{n} \right) }}{2it \frac{2}{n} } = \frac{n}{4it}\left( e^{ \frac{2it}{n} }- e^{- \frac{2it}{n} }\right)}\)

Z góry dzięki za pomoc.