Zadanie
Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X + Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X, \ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrami \(\displaystyle{ m, \ p}\), a \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrami \(\displaystyle{ n, \ p}\).
Ok, wiemy że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) posiadają rozkłady Bernoulliego o podanych parametrach, a więc:
\(\displaystyle{ P(X = k) ={m\choose k} p^k (1-p)^{m-k} \\
P(Y = k) ={n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}}\)
Dodatkowo \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne, a więc:
\(\displaystyle{ P(X \le p \wedge Y \le q) = P(X \le p)P( Y \le q)}\)
Chcemy więc znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X + Y}\), wyznaczamy najpierw dystrybuanty zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, \ Y}\):
jeśli \(\displaystyle{ t in [-infty, 0)}\)
\(\displaystyle{ P(X \le t) = P(X < 0)= 0}\)
jeśli \(\displaystyle{ t in [0, 1)}\)
\(\displaystyle{ P(X \le t) = P(X = 0) = {m\choose 0} p^0 (1-p)^{m-0}}\)
jeśli \(\displaystyle{ t in [1, 2)}\)
\(\displaystyle{ P(X \le t) = P(X = 0) + P(X = 1) = {m\choose 0} p^0 (1-p)^{m-0} + {m\choose 1} p^1 (1-p)^{m-1}}\)
\(\displaystyle{ \ldots}\)
jeśli \(\displaystyle{ t in [n-1, n)}\)
\(\displaystyle{ P(X \le t) = P(X = 0) + ... + P(X = n - 1) = {m\choose 0} p^0 (1-p)^{m-0} + \ldots + {m\choose n-1} p^{n-1}(1-p)^{m-(n-1)}}\)
jeśli \(\displaystyle{ t in [n, +infty)}\)
\(\displaystyle{ P(X \le t) = P(X = 0) + ... + P(X = n) = {m\choose 0} p^0 (1-p)^{m-0} + \ldots + {m\choose n} p^{n}(1-p)^{m-n} = \sum_{k = 0}^{n} {m\choose k} p^k (1-p)^{m-k} = 1}\)
bo gęstość sumuje się do \(\displaystyle{ 1}\).
Przeprowadzając analogiczne rachunki dla \(\displaystyle{ Y}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ F_{X}(t) = \sum_{k = 0}^{t} P(X \le k) = \sum_{k = 0}^{t} {m\choose k} p^k (1-p)^{m-k} \\
F_{Y}(t) = \sum_{k = 0}^{t} P(Y \le k) = \sum_{k = 0}^{t} {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}}\)
Liczymy dystrybunatę \(\displaystyle{ Z}\):
\(\displaystyle{ F_{Z}(t) = P(Z \le t) = P(X + Y \le t) = ...?}\)
Pomoże mi ktoś rozwiązać to dalej? Pewnie trzeba tu teraz skorzystać z tej niezależności zmiennych losowych, ale nie mam pojęcia jak. Słyszałem coś o "splocie dystrybuant" w takim przypadku, ale też nie wiem jak to zastosować.