Zbieżność według rozkładu

[leszczu450]

Cześć !

Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) , gdzie

\(\displaystyle{ P(X_n=n)= P(X_n=-n)=\frac{1}{2}}\)

Na zajęciach narysowaliśmy szkicowo dystrubuantę \(\displaystyle{ F_{X_n}}\) i stwierdziliśmy, że zbiega ona do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Następnie stwierdziliśmy, że \(\displaystyle{ F \equiv \frac{1}{2}}\) nie ejst dystrybuantą żadnego rozkładu, zatem zbieżności nie ma.

Nie do końca rozumiem to rozumowanie i szukam też innego.

Z góry dzięki za pomoc.

[Spektralny]

Gdyby ciąg ten był zbieżny według rozkładu (powiedzmy do \(\displaystyle{ X}\)), to ciąg dystrybutant zbiegałby punktowo do dystrybuanty \(\displaystyle{ X}\) w zbiorze jej punktów ciągłości. Niestety dystrybuanty \(\displaystyle{ X_n}\) zbiegają punktowo do czegoś co dystrybuantą nie jest, więc nie ma mowy o zbieżności według rozkładu.

Inne rozwiązanie to będzie wyznaczenie funkcji charakterystycznych zmiennych \(\displaystyle{ X_n}\), pokazanie, że punktowo zbiegają do funkcji, która nie jest funkcją charakterystyczną żadnego rozkładu by na końcu powołać się na twierdzenie Leviego o ciągłości.